竞赛辅导：整数的基本知识3（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若a被1999除，余数是1，则-a被1999除，余数是    ．

2. 难度：中等

若自然数88a为奇数，并且88a是3的倍数，则a=    ．

3. 难度：中等

n是一个1996位的整数，且是9的倍数，n的各位数码之和为p，p的各位数码之和为q，q的各位数码之和为r，则r的值为    ．

4. 难度：中等

一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个的末位数字是    ．

5. 难度：中等

使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是    ．

6. 难度：中等

已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是    ．

7. 难度：中等

设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有    对．

8. 难度：中等

满足（n²-n-1）ⁿ⁺²=1的整数n有    个．

9. 难度：中等

已知n²+5n+13是完全平方数，则自然数n的值为    ．

10. 难度：中等

已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是    ．

二、选择题

11. 难度：中等

若a²的十位数可取1，3，5，7，9，则a的个位数为（ ）
A．必为4
B．必为6
C．必为4或6
D．2，4，6，8均可

12. 难度：中等

1993²⁰⁰²+1995²⁰⁰²的末位数字是（ ）
A．6
B．4
C．5
D．3

13. 难度：中等

设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（ ）
A．3n²-3n+3
B．5n²-5n-5
C．9n²-9n+9
D．11n²-11n-11

14. 难度：中等

如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

15. 难度：中等

正整数n小于100，并且满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（ ）个
A．2
B．3
C．12
D．16

16. 难度：中等

如a、b、c是三个任意整数，那么、、（ ）
A．都不是整数
B．至少有两个整数
C．至少有一个整数
D．都是整数

17. 难度：中等

如果a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111-b），则a，b之间的大小关系是（ ）
A．a＞b
B．a=b
C．a＜b
D．不能确定

三、解答题

18. 难度：中等

有一个5位正奇数x，将x中的所有2都换成5，所有的5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y．若x和y满足等式y=2 （x+1），求x．

19. 难度：中等

对于自然数n，如果能找到自然数a和b，使得n=a+b+ab，那么n就称为“好数”．如3=1+1+1×1，所以3是“好数”．在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？

20. 难度：中等

试找出由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数（要求写出推理过程）．

21. 难度：中等

试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．

22. 难度：中等

试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．