初中数学竞赛专项训练03：方程（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程x²-（a+8）x+8a-1=0有两个整数根，试求整数a的值（ ）
A．-8
B．8
C．7
D．9

2. 难度：中等

方程（x²+x-1）^x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

3. 难度：中等

若x是一元二次方程，ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac与平方式M=（2ax+b）²的大小关系是（ ）
A．△＞M
B．△=M
C．△＜M
D．不能确定

4. 难度：中等

已知b²-4ac是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
A．ab≥
B．ab≤
C．ab≥
D．ab≤

5. 难度：中等

已知x₁、x₂是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实根，则x₁²+x₂²的最大值是（ ）
A．19
B．18
C．
D．以上答案都不对

6. 难度：中等

已知x、y、z为三个非负实数，且满足3x+2y+z=5，2x+y-3z=1，若u=3x+y-7z，则u的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若m、n都是正实数，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数根，则m+n的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

8. 难度：中等

气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天．则x等于（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

二、填空题

9. 难度：中等

已知两个方程x²+ax+b=0与x²+bx+a=0有且只有一个公共根，则这两个方程的公共根应是   

10. 难度：中等

若a²+11a+16=0，b²+11b+16=0（a≠b），则=   

11. 难度：中等

已知关于x的方程x²+（n+1）x+2n-1=0的两根为整数，则整数n是   

12. 难度：中等

设x₁、x₂是方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两个实数根，且（x₁+1）（x₂+1）=8，则k的值是   

13. 难度：中等

已知a、b是方程x²-4x+m=0的两个根，b、c是方程x²-8x+5m=0的两个根，则m=    ．

14. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a=2的两个实数根，则（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

关于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

16. 难度：中等

设方程2002²x²-2003•2001x-1=0的较大根是r，方程2001x²-2002x+1=0的较小根是s，求r-s的值．

17. 难度：中等

确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的两根均为质数，并求出此两根．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

19. 难度：中等

有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时v₁、v₂、v₃、v₄千米，且满足v₁＞v₂＞v₃＞v₄＞0，其中，v_水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下．（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？