1992年全国初中数学联赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足|a-b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若t是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（ ）
A．△=M
B．△＞M
C．△＜M
D．大小关系不能确定

3. 难度：中等

若x²-13x+1=0，则的个位数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7

4. 难度：中等

在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

5. 难度：中等

如图所示，正比例函数y=x和y=ax（a＞0且a≠1）的图象与反比例函数（k＞0）的图象分别相交于点A和C，若Rt△AOB和Rt△COD面积分别记作S₁与S₂，则S₁与S₂的大小关系是（ ）

A．S₁＞S₂
B．S₁=S₂
C．S₁＜S₂
D．S₁≠S₂

6. 难度：中等

在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S₁，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S₂，则的整数部分是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∠A=60°，又E是底边AB上一点，且FE=FB=AC，FA=AB．则AE：EB等于（ ）

A．1：2
B．1：3
C．2：5
D．3：10

8. 难度：中等

设x₁，x₂，x₃，…，x₉均为正整数，且x₁＜x₂＜…＜x₉，x₁+x₂+…+x₉=220，则当x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值最大时，x₉-x₁的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、填空题

9. 难度：中等

如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于    ．

10. 难度：中等

若x≠0，则的最大值是    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB=    ．

12. 难度：中等

若a，b都是实数，且，则=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x²-6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．

15. 难度：中等

某个信封上邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有4个编码如下：
A、320651    B、105263    C、612305    D、316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N．