2009年数学九年级奥林匹克初中训练（01）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，则（a-b）²+（b-c）²+（a-b）（b-c）的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

规定”△”为有序实数对的运算，如果（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．如果对任意实数a，b都有（a，b）△（x，y）=（a，b），则（x，y）为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（-1，0）
D．（0，-1）

3. 难度：中等

在△ABC中，，则∠A为（ ）
A．一定为锐角
B．一定为直角
C．一定为钝角
D．非上述答案

4. 难度：中等

下列五个命题：
①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三条边长是5；
②；=a，
③若点P（a，b）在第三象限，则点P′（-a，-b+1）在第一象限；
④连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；
⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

5. 难度：中等

设P为等腰直角△ABC斜边AB上或其延长线上一点，S=AP²+BP²，那么（ ）
A．S＜2CP²
B．S=2CP²
C．S＞2CP²
D．不确定

6. 难度：中等

满足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整数解有（ ）
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组

二、填空题

7. 难度：中等

一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过    分钟，货车追上了客车．

8. 难度：中等

若多项式P=2a²-8ab+17b²-16a-4b+2070，那么P的最小值是    ．

9. 难度：中等

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是    ．

10. 难度：中等

已知二次函数y=ax²（a≥1）的图象上两点A，B的横坐标分别为-1，2，O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△AOB的周长为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．

12. 难度：中等

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．
（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为；求BD长．
（2）若；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．

13. 难度：中等

已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．