2003年浙江省湖州市初三数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在Rt△ABC边上有一点P（点P不与点A、点B重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线共有（ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条

2. 难度：中等

设a，b都是正实数且，那么的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设x²-px+q=0的两实根为α，β，而以α²，β²为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

4. 难度：中等

A，B，C三个足球队举行循环比赛，下表给出部分比赛结果：

球场	比赛场次	胜	负	平	进球数	失球数
A	2	2场				1
B	2		1场		2	4
C	2				3	7

则：A，B两队比赛时，A队与B队进球数之比为（ ）
A．2：0
B．3：1
C．2：1
D．0：2

5. 难度：中等

若△ABC三边的平方的连比为1：2：3，对于△ABC的中线、高线的垂直关系，正确的是（ ）
A．有互相垂直的高线，而无互相垂直的中线
B．有互相垂直的中线，而无互相垂直的高线
C．既有互相垂直的中线，又有互相垂直的高线
D．既无互相垂直的高线，又无互相垂直的中线

6. 难度：中等

如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）

A．98
B．196
C．280
D．248

二、填空题

7. 难度：中等

若正数m，n满足m+2n+4-6=3，则=    ．

8. 难度：中等

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²+1=0这个方程虽然在实数范围内无解，但是，假如存在这样一个数i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²+1=0两个根．小明还发现i具有如下性质：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=    ，i⁴ⁿ⁺²=    ，i⁴ⁿ⁺³=    （n为自然数）．

9. 难度：中等

已知a+b=8，ab=c²+16，则a+2b+3c=   

10. 难度：中等

已知方程2x⁴+mx²+8=0的四个根均为整数，则m=    ，多项式2x⁴+mx²+8可分解为    ．

11. 难度：中等

如果依次用a₁，a₂，a₃，a₄分别表示下图（1），（2），（3），（4）中三角形的个数，那么a₁=3，a₂=8，a₃=15，a₄=    ．

如果按照上述规律继续画图，那么a₉与a₈之间的关系是a₉=a₈+    ．

12. 难度：中等

已知a、b为抛物线y=（x-c）（x-c-d）-2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a-c|+|c-b|的值为    ．

13. 难度：中等

已知正数a，b，c满足，则ab的最大值为   

三、解答题

14. 难度：中等

已知直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，且与双曲线交于点C（m，2），若△AOB的面积为4，求△BOC的面积．

15. 难度：中等

已知如图，在梯形ABCD中，AD＜BC，AE∥CD，EF∥BA，FG∥CB，求证：AD•CD=CF•FG．

16. 难度：中等

已知抛物线y=x²-2x+6-m与直线y=-2x+6+m，它们的一个交点的纵坐标是4．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，直线y=kx（k＞0）与（1）中的抛物线交于两个不同的点A、B，与（1）中的直线交于点P，试证明：=2；
（3）在（2）中能否适当选取k值，使A、B两点的纵坐标之和等于8？如果能，求出此时的k值；如果不能请说明理由．

17. 难度：中等

对a＞b＞c＞0，作二次方程x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x，求证：a＞x＞b+c；
（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．