竞赛辅导：整数的基本知识1（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知a为整数，|4a²-12a-27|是质数，那么a的所有可能值的和为    ．

2. 难度：中等

设一个自然数n的所有正约数的积为2⁴•3¹²，则n的值为    ．

3. 难度：中等

所有个位数与十位数都是奇数的两位数的和    ．

4. 难度：中等

若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c，则（b+c）^a=    ．

5. 难度：中等

在1²，2²，3²，…，95²这95个数中十位数字为奇数的数共有    个．

6. 难度：中等

已知方程x²-ax+a+1=0的两根均为质数，则a的值为    ．

7. 难度：中等

自然数n的正约数共有10个，则n的最小值是     ．

二、选择题

8. 难度：中等

三个不同的质数m、n、p满足m+n=p，则mnp的最小值是（ ）
A．15
B．30
C．6
D．10

9. 难度：中等

已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么，a²+b²-c²+2ab（ ）
A．一定是非零偶数
B．等于零
C．一定是奇数
D．可能是奇数，也可能是偶数

10. 难度：中等

将1000到1997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻的数的和，在这些和数中，奇数的个数至多有（ ）个．
A．499
B．496
C．996
D．995

11. 难度：中等

任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．0

12. 难度：中等

满足等式1984•x-1983•y=1985的一组自然数是（ ）
A．x=22783，y=22796
B．x=22784，y=22790
C．x=27764，y=27777
D．x=27763，y=27785

13. 难度：中等

已知m是奇数，n是偶数，若x=p，y=q能使x-1998y=n和1999x+3y=m同时成立，则（ ）
A．p、q都是偶数
B．p、q都是奇数
C．p是奇数，q是偶数
D．p是偶数，q是奇数

14. 难度：中等

如果n是正整数，那么[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值（ ）
A．一定是零
B．一定是偶数
C．是整数但不一定是偶数
D．不一定是整数

三、解答题

15. 难度：中等

a为正整数．记号[2a+1，2a+2，2a+3]表示2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍数，以N表示它，若2a+4整除N，求a．

16. 难度：中等

在1、0交替出现且以1打头和结尾的所有整数（101，10101，10101…）中有多少个质数？为什么？并求出所有质数．

17. 难度：中等

一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末尾添个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数是5，求这个四位数．

18. 难度：中等

有50位学生，男女各半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位学生左右两侧的两位学生均为异性学生？请说明理由．

19. 难度：中等

设a、b、c、d都是正整数，且a²+b²=c²+d²，证明：a+b+c+d定是合数．

20. 难度：中等

已知n是自然数，而n²-19n+91的值是完全平方数，求n．