竞赛辅导：整数的基本知识2（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若P为质数，P³+5仍为质数，则P³+7为（ ）
A．质数
B．可为质数也可为合数
C．合数
D．既不是质数也不是合数

2. 难度：中等

如果为正整数，则在下面的四组值中，x和y只能取（ ）
A．x=25530，y=29464
B．x=37615，y=26855
C．x=15123，y=32477
D．x=28326，y=28614

二、填空题

3. 难度：中等

120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于    ．

4. 难度：中等

a、b为自然数，且a=1999b，则a、b的最大公约数与最小公倍数的和等于    ．

5. 难度：中等

已知三个不同的质数a，b，c满足ab^bc+a=2000，那么a+b+c=    ．

6. 难度：中等

一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数（如果它的十位数字是零，就只用个位数去除），且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方．例如4802÷2=2401=49²=（48+1）²．则具有上述性质的最小四位数是    ．

三、解答题

7. 难度：中等

99个连续自然数之和等于abcd，若a、b、c、d皆为质数，则a+b+c+d的最小值等于多少？

8. 难度：中等

若三个不同的质数a、b、c的乘积等于这三个质数之和的5倍，求a²+b²+c²的值．

9. 难度：中等

已知正整数p和q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p^q+q^p的值．

10. 难度：中等

是否存在整数a、b满足a²+1998=b²．

11. 难度：中等

若a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），则（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶数．

12. 难度：中等

已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之和，求这样的自然数．

13. 难度：中等

abcd是一个四位的自然数，已知abcd-abc-ab-a=1995，试确定这个四位数abcd？

14. 难度：中等

设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数且恰有75个正因数因子（包括1和本身），求．

15. 难度：中等

请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
（1）6个数中任意两个都互质；
（2）6个数任意取2个、3个、4个、5个、6个数之和都是合数，并简述选择的数合乎条件的理由．

16. 难度：中等

41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．

17. 难度：中等

如果自然数a，b，c满足a²+b²=c²，求证：
（1）a，b中至少有一个是偶数；
（2）a，b中至少有一个是3的倍数；
（3）a，b，c中至少有一个是5的倍数．