2011年第7届“锐丰杯”初中数学邀请赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简得（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径为a，则正方形ABCD边长为（

A．
B．
C．a
D．

3. 难度：中等

抛物线y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-
B．k≥-且k≠0
C．k≥-
D．k＞-且k≠0

4. 难度：中等

对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（ ）
A．8个
B．10个
C．12个
D．13个

5. 难度：中等

凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．等腰梯形
D．矩形

6. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，BB₁=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C₁点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

已知直线y=-2x+3与抛物线y=x²相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于    ．

8. 难度：中等

如图，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与射线AP，AB相交于M，N．当△AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等时，=    ．

9. 难度：中等

已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c，则m的最小值为    ．

10. 难度：中等

满足方程|x+2|+|x-3|=5的x的取值范围是    ．

11. 难度：中等

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么若x²=-1，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i²⁰¹¹=    ，②方程x²-2x+2=0的两根为     （根用i表示）

12. 难度：中等

已知对任意正整数n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，则=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

规定符号[x]表示不超过x的最大整数，例，求：方程2-x²=[x]大于-3的x的解

14. 难度：中等

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分别为D₁、E₁．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD₁+EE₁的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD₁+EE₁的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．