2001年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

3⁵⁰，4⁴⁰，5³⁰的大小关系为（ ）
A．3⁵⁰＜4⁴⁰＜5³⁰
B．5³⁰＜3⁵⁰＜4⁴⁰
C．5³⁰＜4⁴⁰＜3⁵⁰
D．4⁴⁰＜5³⁰＜3⁵⁰

2. 难度：中等

若二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，则点（a+b，ac）在（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（ ）
A．100≤M≤110
B．110≤M≤120
C．120≤M≤130
D．130≤M≤140

5. 难度：中等

周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的，则该三角形的（ ）
A．腰和底边的高都是有理数
B．腰和底边的高都不是有理数
C．腰是有理数，底边上的高是无理数
D．腰是无理数，底边上的高是有理数

6. 难度：中等

如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1和∠2的大小关系是（ ）

A．∠1＞∠2
B．∠1＜∠2
C．∠1=∠2
D．无法确定

二、填空题

7. 难度：中等

已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=    ．

8. 难度：中等

计算=    ．

9. 难度：中等

已知m、n是有理数，方程x²+mx+n=0有一个根是，则m+n的值为    ．

10. 难度：中等

已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为    ．

11. 难度：中等

已知：a、b满足a³-3a²+5a=l，b³-3b²+5b=5，则a+b=    •

12. 难度：中等

如图，由五个边长为1cm的正方形组成的图形中，过点A的一条直线l与ED、CD分别交于M、N，若直线l将图形分为面积相等的两部分，则EM=    cm．

三、解答题

13. 难度：中等

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x，y）位于x轴下方．
（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求证：x₁＜x＜x₂．

14. 难度：中等

如图，任意五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，
求证：KL∥AE且KL=AE．

15. 难度：中等

如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值．

16. 难度：中等

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．