2003年贵州省遵义市绥阳县第14届科教文竞赛数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

随着计算机技术的迅速发展，电脑价格不断降低．某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为（ ）
A．（n+m）元
B．（n+m）元
C．（5m+n）元
D．（5n+m）元

2. 难度：中等

若0＜a＜1，则÷（1+）×可化简为（ ）
A．
B．
C．1-a²
D．a²-1

3. 难度：中等

不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A．
B．a≤
C．≤a＜-1
D．a≥

4. 难度：中等

如果方程有增根，则a的值是（ ）
A．0
B．-1
C．3
D．0或-1

5. 难度：中等

已知∠A是锐角，且cotA的值小于，∠A应是（ ）
A．小于30°
B．大于30°
C．小于60°
D．大于60°

6. 难度：中等

如图四边形ABCD是矩形，E是BC延长线上一点，则图中相似三角形有（ ）对．

A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）

A．13
B．14
C．15
D．16

二、填空题

8. 难度：中等

=    ．

9. 难度：中等

已知，x²-6x+9与|y-1|互为相反数，以x、y为根的一元二次方程是     ．

10. 难度：中等

已知实数z、y、z满足x+y=5及z²=xy+y-9，则x+2y+3z=    ．

11. 难度：中等

如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b²+c²=2a²+16a+14与bc=a²-4a-5，那么a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知，，则=    ．

13. 难度：中等

对于实数x、y，定义新的运算：x*y=ax+by+1，其中a、b是常数，若3*5=15，4*7=28，则1*1=    ．

14. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD=    ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，CE：EB=1：2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为    ．

16. 难度：中等

如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于E、F，且△CEF∽△CBA，若，则∠C=    ．

17. 难度：中等

如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知，m是方程x²-3x-1=0的一个根，求证：长度的三条线段不能构成三角形．

19. 难度：中等

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

20. 难度：中等

已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求x²+y²的值．

21. 难度：中等

某校有一蓄水池，自来水以固定流量（即单位时间里流入蓄水池中的水量相同）不停地向蓄水池内流入，现蓄水池中有一定深度的水，并安装三个相同的放水龙头，若开一个水龙头，9小时后正好能把蓄水池中的水放完，若同时开水龙头两个，3小时后正好能把蓄水池中水放完，问，同时开放三个水龙头，则需多长时间恰好把蓄水池中的水放完？

22. 难度：中等

已知，直角梯形ABCD的边AB=a，BC=b，CD=c，腰AD是⊙O的直径，直角腰BC交⊙O于E、F，求证：tan∠BAE和tan∠BAF是ax²-bx+c=0的两根．