《3.2 特殊平行四边形》2010年同步练习（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角    ，对角线    ．

2. 难度：中等

在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB=    度．

3. 难度：中等

菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为8cm，则菱形周长为    cm．

4. 难度：中等

矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个    三角形．菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个    三角形．正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个    三角形．

5. 难度：中等

如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=    度，∠FCA=    度．

6. 难度：中等

正方形的边长为a，则它的对角线长    ，若正方形的对角线长为b，它的边长为    ．

7. 难度：中等

边长为a的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为    ．

8. 难度：中等

顺次连接四边形各边中点，所得的图形是    ．顺次连接对角线    的四边形的各边中点所得的图形是矩形．顺次连接对角线    的四边形的各边中点所得的四边形是菱形．顺次连接对角线    的四边形的各边中点所得的四边形是正方形．

9. 难度：中等

矩形的对角线相交所成的钝角为120°，短边为3.6cm，则对角线长为    cm．

10. 难度：中等

菱形的面积为24cm²，边长为5cm，则该菱形的对角线长分别为    ．

11. 难度：中等

已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若AB=BC，则平行四边形ABCD是    ．
（2）若AC=BD，则平行四边形ABCD是    ．
（3）若∠BCD=90°，则平行四边形ABCD是    ．
（4）若OA=OB，且OA⊥OB，则平行四边形ABCD是    ．
（5）若AB=BC，且AC=BD，则平行四边形ABCD是    ．

12. 难度：中等

如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是    ，根据的数学道理是    ．
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是    ，根据的数学道理是    ．

13. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为a，那么平行四边形ABCD的周长是    ．

14. 难度：中等

如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角

16. 难度：中等

下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．有三条边相等的四边形是菱形

17. 难度：中等

从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A．150°
B．135°
C．120°
D．100°

18. 难度：中等

顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）
①平行四边形； ②菱形； ③等腰梯形； ④对角线互相垂直的四边形．
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④

19. 难度：中等

在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一点，使该点到各边距离相等的图形是（ ）
A．平行四边形和菱形
B．菱形和矩形
C．矩形和正方形
D．菱形和正方形

20. 难度：中等

矩形的长和宽分别为15cm和10cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（ ）
A．6cm和9cm
B．4cm和11cm
C．10cm和5cm
D．7cm和8cm

21. 难度：中等

如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（ ）
A．AG=BE
B．△ABG≌△BCE
C．AE=DG
D．∠AGD=∠DAG

三、解答题

22. 难度：中等

已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．

23. 难度：中等

已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

24. 难度：中等

求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形．

25. 难度：中等

如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．

26. 难度：中等

如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．

27. 难度：中等

如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF．求证：AF=FG．

28. 难度：中等

菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线的长．
（3）求菱形的面积．

29. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E．
求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
老师说小明的解答不正确
（1）能找出小明错误的原因吗？请你指出来．
（2）请你给出本题的证明过程．

30. 难度：中等

如图，四边形ABCD是一个正方形．
（1）请你在平面内找到一个点O，并连接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD是全等的等腰三角形．
（2）写出你找到的等腰三角形的顶角的度数．

31. 难度：中等

如图：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，求证：OF=CE．

32. 难度：中等

四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图1所示．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13．每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积．

33. 难度：中等

请你画出把下列矩形的面积两等分的直线，并且根据你所画的直线回答下列问题．
（1）在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有多少条？它们必须都经过哪个点？
（2）你认为还有具有这个性质的四边形吗？如果有，请你找出来．
（3）你认为具有此性质的四边形应该具有什么特征的四边形呢？

34. 难度：中等

木匠师傅要检查一下一扇窗是否是矩形的，可是他身上只带一把卷尺，你能说明一下木匠师傅可以用什么样的方法进行检验吗？请你说明这样操作的依据是什么？

35. 难度：中等

请阅读如下材料．如图，已知正方形ABCD的对角线ACBD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G．求证：OE=OF．

（1）根据你的理解，上述证明思路的核心是利用______使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出______．
（2）若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变．求证：OF=OE．

36. 难度：中等

某乡镇四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划由四个村庄联合架设一条线路，现设计了四种架设方案．如图中实线部分，请你帮助计算一下，哪种方案最省电线．

37. 难度：中等

如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，
求证：（1）∠EBM=∠ECB；（2）BE=AF．

38. 难度：中等

已知：如图所示，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，BF⊥AE于点F，且BF=BC，求证：AE=AB．

39. 难度：中等

已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．
求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．

40. 难度：中等

如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形．（全部用上，互不重合且不留空隙），并把你的拼法依照图示按实际大小画在方格内（方格为1cm×1cm）
（1）不是正方形的菱形；（一个）
（2）不是正方形的矩形；（一个）
（3）梯形；（一个）
（4）不是矩形和菱形的平行四边形；（一个）
（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形；（一个）
（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形；（画出的图形互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）
（7）画凸多边形．（与上面画的图形不一样）