2008年第4届“锐丰杯”初中数学邀请赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果当x=2时，不等式组成立，那么实数a的取值范围为（ ）
A．a＜3
B．a=3
C．2＜a≤3
D．a≥3

2. 难度：中等

下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

如图，线段AP⊥PB，而且AP=2，PB=12，点C₁，C₂在线段PB上，满足PC₂=1.5，BC₁=6．设，那么（ ）

A．m＞n
B．m=n
C．m+n=5
D．m＜n

4. 难度：中等

在代数式中，分别令，那么相应的6个数值之和为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6

5. 难度：中等

仲元河边人行道路上进行路面翻新，准备对地面密铺正多边形彩色地砖，如果在某一个顶点处使用了三种边数互不相同 的地砖就能使得各边完全吻合，能够铺满地面．设正多边形地砖的边数分别为a，b，c，那么必有（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，⊙O沿凸多边形A₁A₂A₃…A_n-1A_n的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动．假设⊙O的周长是凸多边形A₁A₂A₃…A_n-1A_n的周长的一半，那么当⊙O回到出发点时，它自身滚动的圈数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F．如果CD=16，AE=4，则BF为    ．

8. 难度：中等

函数中，自变量x的取值范围为x≥-2的一切实数，则实数b的取值范围为     ．

9. 难度：中等

已知反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于两个不同的点（m，5），（n，-3），则ak的值为     ．

10. 难度：中等

这是一个8×8的方格棋盘，小聪在玩一种游戏：从点P出发，每步只能走一格，而且只能向上或右走．小聪发现从点P出发走到点A、B、C、D、E、F、G的方法分别有1、1、1、2、1、1、3种，那么小聪从点P走到点Q的方法一共有    种．

11. 难度：中等

设x₁，x₂是方程x²+x-1=0的两个实数根，那么x₁³-2x₂²+2008=    ．

12. 难度：中等

如图，等腰直角三角形ABD，点C是直角边AD上的动点，连接CB．现在将点C绕点A逆时针方向旋转90°得点E，再将点C绕点B顺时针方向旋转90°得点F．如果，设△AED，△BFD，△ABC的面积分别为S₁，S₂，S₃，那么S₁+S₂-S₃=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

关于x的方程x²-（k+4）x+k²+4=0，其中k为整数．
（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；
（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．

14. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，-1）和点B（3，-9），而且点C（m，m）、D（4-m，m）均在图象上，其中m≠2．
（1）求该二次函数的解析式以及实数m的值；
（2）如果动点P位于抛物线上的弧AB与线段AB所围成的区域（不包括边界）内，自点P作与x轴垂直的直线l，l分别与直线AB、抛物线相交于点M、N（M在N的上方），试求线段MN长的最大值．

15. 难度：中等

定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注：本定理不需要证明）
（1）图2，△ABC中，AC=BC，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明C，E，O，F四点共圆．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）

如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有：
（2）图3，在凸四边形ABCD中，AD=BC，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DE=BF，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究△PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．