2005年天津市初中数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若x=，且a≠0，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a、b、c，则a²+b²+c²-ab-bc-ca的值等于（ ）

A．48
B．76
C．96
D．152

3. 难度：中等

已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

4. 难度：中等

如图．在▱ABCD中，若边AB上的两点E、F满足AE=EF=FB．CE分别与DF、DB交于点M、N，则EM：MN：NC等于（ ）

A．2：1：4
B．4：3：5
C．5：3：12
D．5：4：12

5. 难度：中等

如图，已知圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切．若⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为a，b，c（0＜c＜a＜b），则a，b，c一定满足的关系式为（ ）

A．2b=a+c
B．=
C．
D．

6. 难度：中等

已知a、b都是正整数，且抛物线y=ax²+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，则a+b的最小值等于（ ）
A．16
B．10
C．4
D．1

二、填空题

7. 难度：中等

已知关于x的方程x²+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是    ．

8. 难度：中等

有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为     min．

9. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=（AB+AD）．如果∠D=120°，则∠B等于    ．

10. 难度：中等

如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为    ．

11. 难度：中等

若在4×4的方格表的16个方格中，每个方格填入一个数，使得每个方格的所有相邻方格中的数的总和均为l（注：相邻方格是指恰有一条公共边的），则方格表中16个数的总和等于    ．

三、解答题

12. 难度：中等

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a为正整数．
（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，试求这2005条线段长之和．

13. 难度：中等

已知p、g、、都是整数，且p＞1，q＞1．求p+q的值．

14. 难度：中等

如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为的中点．求证：AD²=AC•BC+CD²．