2004年上海市“宇振杯”初中数学竞赛试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若关于x的二次方程x²+（3a-1）x+a+8=0有两个不相等的实根x₁、x₂，且x₁＜1，x₂＞1，则实数a的取值范围为    ．

2. 难度：中等

方程的解是     ．

3. 难度：中等

一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是    ．

4. 难度：中等

如图，△ABC中，CD、CE分别是AB边上高和中线，CE=BE=1，又CE的中垂线过点B，且交AC于点F，则CD+BF的长为    ．

5. 难度：中等

如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为    ．

6. 难度：中等

如图，正方形纸片ABCD的面积为1，点M、N分别在AD、BC上，且AM=BN=，将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ（Q在CD上），连PQ，则以PQ为边长的正方形面积为    ．

7. 难度：中等

三个不同的正整数a、b、c，使a+b+c=133，且任意两个数的和都是完全平方数，则a、b、c是     ．

8. 难度：中等

若实数a、b、c、d满足a²+b²+c²+d²=10，则y=（a-b）²+（a-c）²+（a-d）²+（b-c）²+（b-d）²+（c-d）²的最大值是    ．

9. 难度：中等

已知实系数一元二次方程ax²+2bx+c=0有两个实根x₁、x₂，且a＞b＞c，a+b+c=0，若则d=|x₁-x₂|的取值范围为    ．

10. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QC=BC，则∠A的大小是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形，
（1）若MP∥BC或NQ∥AB，求证：S_{四边形PQMN}=S_ABCD
（2）若S_{四边形PQMN}=S_ABCD，问是否能推出MP∥BC或QN∥AB？证明你的结论．

12. 难度：中等

设n是正整数，d₁＜d₂＜d₃＜d₄是n的四个最小的正整数约数，若n=d₁²+d₂²+d₃²+d₄²，求n的值．

13. 难度：中等

如图，已知△ABC，且S_△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使S_BCDE=S_△BPC，求S_△DEP的最大值．