初中数学竞赛专项训练06：函数（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a-b，b-a），那么直线l经过（ ）
A．第二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三象限
D．第二、三、四象限

2. 难度：中等

当|x|≤4时，函数y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最大值与最小值之差是（ ）
A．4
B．6
C．16
D．20

3. 难度：中等

对ab≠0，a²≠b²，二次函数y=（x-a）（x-b）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若直线y=ax+b（ab≠0）不过第三象限，则抛物线y=ax²+bx的顶点所在的象限是（ ）
A．一
B．二
C．三
D．四

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图，则a的取值范围是（ ）

A．-1≤a＜0
B．a＞-1
C．-1＜a＜0
D．a≤-1

6. 难度：中等

若函数，则当自变量x取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．540
B．390
C．194
D．197

7. 难度：中等

已知函数f（x）=|8-2x-x²|和y=kx+k（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数图象只有（ ）个交点．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

二次函数y=-x²+6x-7，当x取值为t≤x≤t+2时，y_最大值=-（t-3）²+2，则t的取值范围是（ ）
A．t=0
B．0≤t≤3
C．t≥3
D．以上都不对

9. 难度：中等

两抛物线y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形

10. 难度：中等

当n=1，2，3，…，2003，2004时，二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象与x轴所截得的线段长度之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c图象如图所示，则下列式子：
ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有    个．

12. 难度：中等

已知函数y=-x²+在0＜a≤x≤b时，有2a≤y≤2b，则（a，b）=   

13. 难度：中等

若第一象限内的整点（n，m）位于抛物线y=19x²-98x上，则m+n的最小值为    ．

14. 难度：中等

如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y=x²+（k+1）x+1与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为    ．

16. 难度：中等

已知f（x）=x²-（m-1）x+（2m-1）（m≠）在x轴上的两截距都大于2，则函数值的符号为    ．

17. 难度：中等

设x为实数，则函数的最小值是    ．

18. 难度：中等

已知函数，则f（1）+f（3）+…f（2k-1）+…+f（999）的值为    ．

19. 难度：中等

函数y=（cosθ）x²-4（sinθ）x+6对任意实数x都有y＞0，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是   

三、解答题

20. 难度：中等

已知x，y，z为三个非负有理数，且满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z，求S的最大值与最小值．

21. 难度：中等

设a、b、c是三角形的三边长，二次函数y=（a+b）x²+2cx-（a-b）在时，取得最小值，求这个三角形三个内角的度数．

22. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示：
①判断a、b、c及b²-4ac的符号；
②若|OA|=|OB|，求证：ac+b+1=0．

23. 难度：中等

二次函数y=x²+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．

24. 难度：中等

已知二次函数y=4x²-（3k-8）x-6（k-1）²的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），且点A、B到原点距离之比为3：2．
①求k值．
②若点P在y轴上，∠PAB=α，∠PBA=β．求证：α＜β．