2006年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若x=2ⁿ⁺¹+2ⁿ，y=2^n-1+2^n-2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（ ）
A．x=4y
B．y=4
C．x=12y
D．y=12

2. 难度：中等

如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S₁、S₂、S₃，则它们之间的关系是（ ）

A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₁＜S₃
C．S₁＜S₃＜S₂
D．S₃＜S₂＜S₁

3. 难度：中等

设x₁，x₂是方程x²+x-4=0的两个实数根，则x₁³-5x₂²+10=（ ）
A．-29
B．-19
C．-15
D．-9

4. 难度：中等

如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＞∠2
B．∠1＜∠2
C．∠1=∠2
D．无法确定

5. 难度：中等

方程3x²+y²=3x-2y的非负整数解（x，y）的组数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x₁，x₂，x₃分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）

A．x₁＞x₂＞x₃
B．x₁＞x₃＞x₂
C．x₂＞x₃＞x₁
D．x₃＞x₂＞x₁

二、填空题

7. 难度：中等

若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=    ，q=    ．

8. 难度：中等

设x，y为实数，代数式5x²+4y²-8xy+2x+4的最小值为    ．

9. 难度：中等

某工件的形状如图所示，圆弧的度数为60°，AB=6cm，点B与点C的距离等于AB，∠BAC=30°，则此工件的面积为    ．

10. 难度：中等

设关于x的-元二次方程x²+2kx+-k=0有两个实根，则k的取值范围为    ．

11. 难度：中等

如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB=2，则正方形ADEF的面积为    ．

12. 难度：中等

如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为    ．

13. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A₁B⊥AC，过A₁作A₁B₁⊥BC，得阴影Rt△A₁B₁B；再过B₁作B₁A₂⊥AC，过A₂作A₂B₂⊥BC，得阴影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为    ．

14. 难度：中等

在一个3×3的方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大的那个格子涂红色，数字最小的那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小的那个数，m是三个绿色方格中数字最大的那个数，则M-m可以有    个不同的值．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．
（1）求证：DE=AF；
（2）若⊙O的半径为，AB=，求的值．

17. 难度：中等

在7×7的单位正方形的网格中，共有64个格点，有许多以这些格点为顶点的正方形．这些正方形的面积有多少个不同的值？

18. 难度：中等

k、a、b为正整数，k被a²、b²整除所得的商分别为m，m+116．
（1）若a，b互质，证明a²-b²与a²、b²都互质；
（2）当a，b互质时，求k的值．
（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．