2010年四川省广元市黄冈学校第2届“黄冈杯”数学竞赛试卷（初三）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

直角三角形的两条直角边分别长5和12，三角形内一点到三边的距离都为d，则d=    ．

2. 难度：中等

将2003x²-（2003²-1）x-2003因式分解得    ．

3. 难度：中等

已知x=+1，y=-1，则x²-y²=    ．

4. 难度：中等

若方程3x²-5x-2=0有一根是a，则6a²-10a=    ．

5. 难度：中等

若代数式有意义，则在直角坐标系中，点P（m，n）在第    象限．

6. 难度：中等

如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为    ．

7. 难度：中等

△ABC的周长为24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积为    ．

二、选择题

8. 难度：中等

计算，所得的值是（ ）
A．
B．4
C．
D．-4

9. 难度：中等

在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ）

A．120°
B．135°
C．150°
D．165°

10. 难度：中等

如果x³+ax²+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．2l

11. 难度：中等

某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，（其中0＜n＜m＜100），则调价后该商品价格最高的是（ ）
A．先涨价m%，再降价n%
B．先涨价n%，再降价m%
C．先涨价%，再降价%
D．先涨价%，再降价%

12. 难度：中等

已知a≠0，14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²，那么a：b：c=（ ）
A．2：3：6
B．1：2：3
C．1：3：4
D．1：2：4

13. 难度：中等

化简的结果是（ ）
A．abc
B．a+b+c
C．
D．-（a+b+c）

14. 难度：中等

一个等腰三角形被过一个顶点的一条直线分割成两个较小的等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶的角度数的值可能有（ ）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种

15. 难度：中等

若，那么x⁴-3x³-4x²+15x-7的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

16. 难度：中等

（1）计算
（2）解方程：x²-6x+9=（5-2x）²．

17. 难度：中等

如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为弧ADB的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，，求O到弦AC的距离．

18. 难度：中等

如图，⊙M的圆心M在x轴上，⊙M分别交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴的正半轴于点C，弦CD∥x轴交⊙M于点D，已知A、B两点的横坐标分别是方程x²=4（x+3）的两个根，
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）点N是直线AD上的一个动点，求△MNB周长的最小值，并在图中画出△MNB周长最小时点N的位置．

19. 难度：中等

已知a≠0，并且关于x的方程ax²-bx-a+3=0①至多有一个解．试问：关于x的方程（b-3）x²+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解？并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．