新课标九年级数学竞赛培训第10讲：抛物线（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（1，0），…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．”根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（ ）
A．过点（3，0）
B．顶点是（-2，2）
C．在x轴上截得的线段长是2
D．与y轴的交点是（0，3）

2. 难度：中等

已知A（x₁，2002），B（x₂，2002）是二次函数y=ax²+bx+5（a≠0）的图象上两点，则当x=x₁+x₂时，二次函数的值是（ ）
A．
B．
C．2002
D．5

二、解答题

3. 难度：中等

如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？

4. 难度：中等

二次函数的图象与x轴交于A、两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，且∠ACB=90°．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设计两种方案：作一条与y轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标（注：设计的方案不必证明）．

5. 难度：中等

已知函数y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

6. 难度：中等

阅读下面的文字，解答问题：
题目：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（0，a），B（1，-2）两点，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．
题目中有一段被墨水污染了而无法辨认的文字．
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式？若能，写出解题过程；若不能，请说明理由；
（2）请你根据已有信息，增加一个适当的条件，把原题补充完整，所填条件是______．

7. 难度：中等

如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

8. 难度：中等

如图，抛物线和直线y=kx-4k（k＜0）与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于C点，且∠ABC=90°，求抛物线的解析式．

9. 难度：中等

某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图1）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间函数的图象是线段（如图2），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是多少吨时，所获毛利润最大，最大利润是多少（毛利润=销售额-费用）．

10. 难度：中等

已知：如图，二次函数y=2x²-2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x²-2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

11. 难度：中等

已知二次函数y=x²-x-2及实数a＞-2，求
（1）函数在一2＜x≤a的最小值；
（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．

12. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

三、填空题

14. 难度：中等

二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

抛物线y=ax²与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

抛物线y=x²+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为    ．

17. 难度：中等

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-l，0）、（0，），则：
（1）抛物线对应的函数解析式为    ；
（2）若点P为此抛物线上位于x轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为    ．

18. 难度：中等

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a-b+c＞0．正确的序号是    ．

19. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=    ．

20. 难度：中等

已知直线y=-2x+3与抛物线y=x²相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于    ．

21. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为    ．

四、选择题

22. 难度：中等

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²，其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

23. 难度：中等

已知a＜-1，点（a-1，y₁），（a，y₂），（a+1，y₃）都在函数y=x²的图象上，则（ ）
A．y₁＜y₂＜y₃
B．y₁＜y₃＜y₂
C．y₃＜y₂＜y₁
D．y₂＜y₁＜y₃

24. 难度：中等

把抛物线y=x²+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x²-3x+5，则（ ）
A．b=3，c=7
B．b=6，c=3
C．b=-9，c=-5
D．b=-9，c=21

25. 难度：中等

若二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，则点（a+b，ac）在（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

26. 难度：中等

周长是4m的矩形，它的面积S（m²）与一边长x（m）的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

27. 难度：中等

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（ ）

A．b=0
B．S_△ABE=c²
C．ac=-1
D．a+c=0