2005年浙江省温州市永嘉县桥下镇中学初三数学竞赛试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

化简：=    ．

2. 难度：中等

规定两数a、b通过”*”运算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不论x是什么数时，总有a*x=x，则a=    ．

3. 难度：中等

若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

一次函数的图象如图所示，则△AOB的面积等于    ．

5. 难度：中等

已知：如图，A、B、C、D四点对应的实数都是整数，若点A对应于实数a，点B对应于实数b，且b-2a=7，那么数轴上的原点应是    点．

6. 难度：中等

如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，∠A=31°，△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，时C点恰落在A′C′上，且A′B与AC交于D点，那么∠BDC=    ．

7. 难度：中等

如图，l₁与l₂是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点．如果在这个平面内，再画第三条直线l₃，那么这三条直线最多可有    个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l₄，那么这4条直线最多可有    个交点．由此，我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有    个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有    个交点（用含n的代数式表示）．

8. 难度：中等

已知=（a-b）（c-a）且a≠0，则=    ．

9. 难度：中等

观察图形，用S_i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S₁+S₂+S₃+…+S_n＞10，则n的最小值为    ．

10. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为1，E是CB延长线上的一点，连ED交AB于P，且PE=，则BE-PB的值为    ．

二、选择题

11. 难度：中等

使不等式x²＜|x|成立的x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x＜-1
C．-1＜x＜1
D．-1＜x＜0或0＜x＜1

12. 难度：中等

若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x，y的大小关系是（ ）
A．x=y
B．x＜y
C．x＞y
D．不确定

13. 难度：中等

小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的．如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了弹球（ ）
A．48个
B．60个
C．96个
D．720个

14. 难度：中等

已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着A-B-C-D运动，x表示点P由点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则y与x的函数关系的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）

A．-
B．-
C．-1
D．-2

三、解答题

16. 难度：中等

设a、b是关于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的两个不相等的实根（k是非负整数），一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数的图象都经过点（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

17. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分别是AB、AD的中点，直线EF分别交CB、CD的延长线于G、H，且BC：AD=7：4，AC=28，试求GH的长．

18. 难度：中等

已知：关于x的方程①x²-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x₁，x₂，且x₁＞|x₂|＞0；关于x的方程②mx²+（n-2）x+m²-3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．

19. 难度：中等

在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．规定26个英文字母按顺序分别对应整数0到25．现有一个由4个字母构成的密码单词，若记4个字母对应的数字分别为x₁，x₂，x₃，x₄，且已知整数x₁+2x₂，3x₂，x₃+2x₄，3x₄除以26的余数分别为9，16，23，12，试求这个密码单词．

20. 难度：中等

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．