2010年安徽省淮南市实验中学九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若M=3x²-8xy+9y²-4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）
A．零
B．负数
C．正数
D．整数

2. 难度：中等

在平面直角坐标系中有两点：A（-2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个

3. 难度：中等

在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如右下图，等边△ABC外一点P到三边距离分别为h₁，h₂，h₃，且h₃+h₂-h₁=3，其中PD=h₃，PE=h₂，PF=h₁．则△ABC的面积S_△ABC=（ ）

A．2
B．3
C．10
D．12

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）

A．-
B．-
C．-1
D．-2

6. 难度：中等

若实数a满足方程，则[a]=（ ）（其中[a]表示不超过a的最大整数．）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知：一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，
B．2，1
C．4，
D．4，3

二、填空题

8. 难度：中等

已知|2009-a|+=a，则a-2009²=    ．

9. 难度：中等

如图：正方形ABCD的边长是a，点M是AB的中点，CN=CD，P是直线AC上的一点，则|PM-PN|的最大值=    ．

10. 难度：中等

如图，半径为r₁的圆内切于半径为r₂的圆，切点为P，弦AB经过O₁交⊙O₁于C，D．已知AC：CD：DB=3：4：2，则=    ．

11. 难度：中等

关于x的不等式组：有5个整数解，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知n个数x₁，x₂，x₃，…，x_n，它们每一个数只能取0，1，-2这三个数中的一个，且，则x₁³+x₂³+…+x_n³=    ．

13. 难度：中等

设a是从集合{1，2，3，…，99，100}中任意抽取的一个数，则3^a的末位数字是7的概率是    ．

三、解答题

14. 难度：中等

已知x、y、z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，试求z的最大值与最小值．

15. 难度：中等

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

16. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．