2010年广东省中山市初三数学竞赛试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知a=-1，则2a³+7a²-2a-11的值等于    ．

2. 难度：中等

一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过了    分钟货车追上客车．

3. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是    ．

4. 难度：中等

如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=    ．

5. 难度：中等

对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i-1．若n的最小值n满足2000＜n＜3000，则正整数k的最小值为    ．

二、解答题

6. 难度：中等

设实数a，b满足：3a²-10ab+8b²+5a-10b=0，求u=9a²+72b+2的最小值．

7. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．

8. 难度：中等

设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈是整数，且满足下列条件：
（1）-1≤x_n≤2（n=1，2，…，2 008）；
（2）x₁+x₂+…+x₂₀₀₈=200；
（3）x₁²+x₂²+…+x₂₀₀₈²=2 008．
求x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³的最小值和最大值．

9. 难度：中等

已知：如图，直线l：y=x+b，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0），设x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）求经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．

三、选择题

10. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-2
B．a≥4
C．a≤-2或a≥4
D．-2≤a≤4

12. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

在一列数x₁，x₂，x₃，…中，已知x₁=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x₂₀₁₀等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

14. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P₁，点P₁绕点B旋转180°得点P₂，点P₂绕点C旋转180°得点P₃，点P₃绕点D旋转180°得点P₄，…，重复操作依次得到点P₁，P₂，…，则点P₂₀₁₀的坐标是（ ）

A．（2010，2）
B．（2010，-2）
C．（2012，-2）
D．（0，2）