新课标九年级数学竞赛培训第03讲：韦达定理（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知α、β是方程x²-x-1=0的两个实数根，则代数式α²+α（β²-2）的值为    ．

2. 难度：中等

（1）已知x₁和x₂为一元二次方程2x²-2x+3m-1=0的两个实根，并x₁和x₂满足不等式，则实数m取值范围是    ；
（2）已知关于x的一元二次方程8x²+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知α、β是关于x的方程x²+px+q=0的两个不相等的实数根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求证：p=0，q＜0．

4. 难度：中等

CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根，则△ABC的面积为    ．

5. 难度：中等

已知方程x²+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为    ．

6. 难度：中等

已知α、β是方程x²-x-1=0的两个根，则α⁴+3β的值为    ．

7. 难度：中等

△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x²-12x+m=0的两个根，则m的取值范围    ．

二、选择题

8. 难度：中等

如果a，b为质数，且a²-13a+m=0，b²-13b+m=0，那么的值为（ ）
A．
B．或2
C．
D．或2

9. 难度：中等

设x₁，x₂是关于x的方程x²+px+q=0的两根，x₁+1，x₂+1是关于x的方程x²+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1，-3
B．1，3
C．-1，-3
D．-1，3

10. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x²-7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是（ ）
A．
B．
C．5
D．2

11. 难度：中等

方程x²+px+1997=0恰有两个正整数根x₁、x₂，则的值是（ ）
A．1
B．-l
C．
D．

12. 难度：中等

两个质数a、b恰好是整系数方程x²-99x+m=0的两个根，则的值是（ ）
A．9413
B．
C．
D．

13. 难度：中等

设方程有一个正根x₁，一个负根x₂，则以|x₁|、|x₂|为根的一元二次方程为（ ）
A．x²-3x-m-2=0
B．x²+3x-m-2=0
C．
D．

14. 难度：中等

若方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1
B．m≥
C．＜m≤1
D．≤m≤1

三、解答题

15. 难度：中等

已知关于x的方程
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相应的x₁、x₂．

16. 难度：中等

设x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x₁²+x₂²有最小值，并求这个最小值．

17. 难度：中等

已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x²-2mx+（m-）²+=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．

18. 难度：中等

若关于x的一元二次方程3x²+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根满足关系式：x₁（x₁+1）+x₂（x₂+1）=（x₁+1）（x₂+1），判断（a+b）²≤4是否正确？

19. 难度：中等

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足|x₁|=x₂，求k的值．

20. 难度：中等

设m是不小于-1的实数，关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；
（2）求的最大值．

21. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x²+2（1-m）x+6m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD=m，BD=n，AC²：BC²=2：1，又关于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0两实数根的差的平方小于192，求：m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．

23. 难度：中等

设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．