2000年山西省太原市初中数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（ ）
A．4组
B．5组
C．6组
D．7组

2. 难度：中等

已知ab≠1，且a²+4a+2=0，2b²+4b+1=0．则a³+等于（ ）
A．-40
B．40
C．28-40
D．28+40

3. 难度：中等

已知a+b=，a-b=．则a⁴-b⁴等于（ ）
A．2000
B．2001
C．
D．

4. 难度：中等

如图，P为圆柱ABCD的母线BC的中点，已知圆柱母线长为4，底面半径OA=1．则在圆柱的侧面上点P到点A的最短距离为（ ）

A．2
B．
C．2π2
D．

5. 难度：中等

当1999≤x≤2000时，函数y=x²+x+的函数值中是整数值的个数是（ ）
A．4001
B．4000
C．3999
D．3998

6. 难度：中等

如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立（ ）

A．有内切圆无外接圆
B．有外接圆无内切圆
C．既有内切圆，也有外接圆
D．以上情况都不对

二、填空题

7. 难度：中等

方程x²-4x+3a²-2=O在区间[-1，1]上有实根．则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知，且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅≠0，则k的值为    ．

9. 难度：中等

设△ABC的重心为G，且AG=6，BG=8，CG=10．则S_△ABC=    ．

10. 难度：中等

3²⁰⁰⁰除以13的余数是     ．

三、解答题

11. 难度：中等

解不等式：-＜||＜2．

12. 难度：中等

设a、b、c是互不相等的实数．求证：．

13. 难度：中等

设S=++…+，求不超过S的最大整数[S]．

14. 难度：中等

如图，AB为半圆0的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙O₁切BD于点E，切CD于点F，切半圆周于点G．求证：
（1）A、F、G三点在一条直线上；
（2）AC=AE．

15. 难度：中等

如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心O₁在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心O₂在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O₁与半圆O₂相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．
（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；
（2）求函数y的最小值．