2010年河南省新乡市封丘县五科竞赛初三数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星-500”正式启动．包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”．将12 480用科学记数法表示应为（ ）
A．12.48×10³
B．0.1248×10⁵
C．1.248×10⁴
D．1.248×10³

2. 难度：中等

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+；⑤S_{正方形ABCD}=4+．其中正确结论的序号是（ ）

A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤

3. 难度：中等

若实数abc满足a²+b²+c²=9，代数式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值是（ ）
A．27
B．18
C．15
D．12

4. 难度：中等

如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）

A．（-a，-b）
B．（-a，-b-1）
C．（-a，-b+1）
D．（-a，-b-2）

5. 难度：中等

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下列各式中①CD²=AD•DB；②CB²=BD•BA；③AC²=AD•AB；④AB•CD=AC•BC，正确的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

当时，多项式（4x³-1997x-1994）²⁰⁰¹的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2²⁰⁰¹
D．-2²⁰⁰¹

二、填空题

7. 难度：中等

右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A⇒B⇒C⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是    ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是    ；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是    （用含n的代数式表示）．

8. 难度：中等

如图所示，点A₁，A₂，A₃在x轴上，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃，分别过点A₁，A₂，A₃作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B₁，B₂，B₃，分别过点B₁，B₂，B₃作x轴的平行线，分别于y轴交于点C₁，C₂，C₃，连接OB₁，OB₂，OB₃，那么图中阴影部分的面积之和为    ．

9. 难度：中等

若ab＜0，则代数式可简化为    ．

10. 难度：中等

已知x是一元二次方程x²+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为    ．

11. 难度：中等

若两方程a²x²+ax-1=0和x²-ax-a²=0有公共根，则a=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=，∠B=60°，则BC=    ．

13. 难度：中等

已知实数a满足|2006-a|+=a，则a-2006²=    ．

14. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=    ．

15. 难度：中等

如图：在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N（不与A、B重合）使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，NB=n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状，并给予说明．

17. 难度：中等

已知，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于E．
求证：∠DME=3∠AEM．

18. 难度：中等

已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．且2b=a+c，延长CA到D，使AD=AB，连接BD
（1）求证：2∠D=∠BAC；
（2）求tan∠BAC•tan∠BCA之值．

19. 难度：中等

据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2008年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2010年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取≈1.414）

20. 难度：中等

已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂是边BC的三等分点，你认为∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正确？请说明你的理由．
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，则∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=______．
（请直接将该小问的答案写在横线上）