2003年上海市“宇振杯”初中数学竞赛试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设曲线C为函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，C关于y轴对称的曲线为C₁，C₁关于x轴对称的曲线为C₂，则曲线C₂是函数y=    的图象．

2. 难度：中等

甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花    元．

3. 难度：中等

已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a²+b²+c²=0.1，则a⁴+b⁴+c⁴的值是     ．

4. 难度：中等

已知凸四边形ABCD的四边长为AB=8，BC=4，CD=DA=6，则用不等式表示∠A大小的范围是    ．

5. 难度：中等

在1、2、…，2003中有些正整数n，使得x²+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n共有    个．

6. 难度：中等

设正整数m，n，满足m＜n，且，则m+n的值是    ．

7. 难度：中等

数1，2，3，…，k²按下列方式排列：

1	2	…	k
k+1	k+2	…	2k
	…
（k-1）k+1	（k-1）k+2	…	k^2

任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了k次后，所取出的k个数的和是     ．

8. 难度：中等

如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是    （保留π）．

9. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，则△ABC的面积是    ．

10. 难度：中等

△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

m，n均为正整数，若关于x的方程4x²-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值．

12. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．
求：（1）∠MAN的大小；
（2）△MAN面积的最小值．

13. 难度：中等

某学生为了描点作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，取自变量的7个值：x₁＜x₂＜…＜x₇，且x₂-x₁=x₃-x₂=…=x₇-x₆，分别算出对应的y的值，列出下表：

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	51	107	185	285	407	549	717

但由于粗心算错了其中一个y值．请指出算错的是哪一个值？