2009年全国初中数学竞赛荆州市预赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个正数x的两个平方根分别是a+1与a-3，则a值为（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．0

2. 难度：中等

如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ）

A．30°
B．32°
C．36°
D．40°

3. 难度：中等

已知，的值为（ ）
A．
B．
C．
D．无解

4. 难度：中等

如图，已知A为DE的中点，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁、S₂、S₃之间的关系式是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b的解集为（ ）
A．x＞-2
B．x＜-2
C．x＞2
D．x＜2

二、填空题

6. 难度：中等

对于任意实数a、b、c、d规定了一种运算，则当时，x=    ．

7. 难度：中等

如图，已知：△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF⊥AB，交AB延长线于F，则∠BEF度数为    °．

8. 难度：中等

如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B-C-D-A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则△ABC面积为    ．

9. 难度：中等

让我们做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，n_l=5，计算n₁²+1得a_l；
第二步：算出a_l的各位数字之和得n₂计算n₂²+1得a₂；
第三步：算出a₂的各位数字之和得n₃，再计算n₃²+1得a₃；
依此类推，则a₂₀₀₉=    ．

10. 难度：中等

已知关于x的方程a（x-3）+b（3x+1）=5（x+1）有无穷多个解，那么a=    ，b=    ．

11. 难度：中等

（九年级）已知方程x²+mx-m+1=0（m是整数）有两个不等的正整数根，则m=    ．

三、解答题

12. 难度：中等

在底面积为100cm²、高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图（1）所示，向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，（烧杯在水槽中的位置始终不变），水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图（2）所示．
（1）求烧杯的底面积；
（2）若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用时间．

13. 难度：中等

在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．如果∠MAN在如图1所示的位置时，有BM+DN=MN成立（不必证明）．请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由．

14. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）=．

15. 难度：中等

点A，B分别在一次函数y=x与y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b（a＞0，b＞0），若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，当是整数时？求满足条件的整数k的值．

16. 难度：中等

已知函数S=|x-2|+|x-4|
（1）求S的最小值；
（2）若对任何实数x、y都有s≥m（-y²+2y）成立，求实数m的最大值．