2006年浙江省初中数学竞赛复赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）
A．21
B．22
C．23
D．24

2. 难度：中等

如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（ ）

A．17
B．18
C．19
D．

3. 难度：中等

设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+（1-x），当1≤x≤2时，y的最大值是（ ）
A．k
B．
C．
D．

4. 难度：中等

钟面上的1～12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）
A．10个
B．14个
C．15个
D．30个

5. 难度：中等

平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个

6. 难度：中等

用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ）
A．15种
B．23种
C．28种
D．33种

二、填空题

7. 难度：中等

三个实数按从小到大排列为x₁，x₂，x₃，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则x₂=    ．

8. 难度：中等

如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是    ．

9. 难度：中等

函数y=2x²+4|x|-1的最小值是    ．

10. 难度：中等

在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是    ．

11. 难度：中等

某商店出售A、B、C三种生日贺卡，已知A种贺卡每张0.5元，B种贺卡每张1元，C种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C种贺卡至少有    张．

12. 难度：中等

有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a，b，c，…，y，z按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅．已知x₁+3x₂，4x₂，x₃+2x₄，5x₄，6x₄+x₅除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是     ．

三、解答题

13. 难度：中等

某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．
（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？
（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？

14. 难度：中等

如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．
（1）求证：BF=2FP；
（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

15. 难度：中等

设x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₆是整数，且满足下列条件：
①1≤x_n≤2，n=1，2，3，…，2006；
②x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₆=200；
③x₁²+x₂²+x₃²+…+x₂₀₀₆²=2006．
求x₁³+x₂³+x₃³+…+x₂₀₀₆³的最小值和最大值．

16. 难度：中等

一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；
②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a-b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b-a）．
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．