2011-2012学年北京市四中九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列事件是必然事件的是（ ）
A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．打开电视，正在播放动画片

2. 难度：中等

抛物线y=x²+4x+1可以由抛物线y=x²平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

3. 难度：中等

已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）
A．250πcm²
B．500πcm²
C．750πcm²
D．1000πcm²

4. 难度：中等

两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切

5. 难度：中等

同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）

A．（5，3）
B．（3，5）
C．（5，4）
D．（4，5）

7. 难度：中等

抛物线y=x²+kx+1与y=x²-x-k相交，有一个交点在x轴上，则k的值为（ ）
A．0
B．2
C．-1
D．

8. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm，AD=2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

正六边形边长为3，则其边心距是    cm．

10. 难度：中等

若二次函数y=x²+2x-3（0≤x≤3）的最小值为    ，最大值为    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是    （结果保留π）．

12. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c满足：（1）a＜b＜c；  （2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有    ．
①a＜0  ②a-b+c＜0  ③c＞0  ④a-2b＞0  ⑤．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

用配方法解方程：．

15. 难度：中等

已知，当m为何值时，是二次函数？

16. 难度：中等

如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为3 cm．试求：
（1）弦AB的长；
（2）的长．

17. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x与y的对应值表：

x	______		______	2	______
y		-3	-4	-3

（1）求出二次函数的解析式；
（2）将表中的空白处填写完整；
（3）在右边的坐标系中画出y=ax²+bx+c的图象；
（4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax²+bx+c的值大于0．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

19. 难度：中等

小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．
小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．

20. 难度：中等

某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？

21. 难度：中等

用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

22. 难度：中等

已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O直径，射线ED与⊙O的另一个交点为 C，试判断线段AC与线段BC的关系．

23. 难度：中等

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

24. 难度：中等

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．

25. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．