2003年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简为（ ）
A．5-4
B．4-l
C．2
D．1

2. 难度：中等

在凸八边形的所有内角中，钝角至少有（ ）个．
A．3
B．5
C．7
D．8

3. 难度：中等

如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（ ）条．
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z，则S的最大值与最小值的和为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2个正整数平方和的自然数n（ ）
A．不存在
B．有1个
C．有2个
D．有无数个

二、填空题

7. 难度：中等

某编辑用O～9这10个数字给一本书的各页标上页码．若共写了636个数字，则该书有     页．

8. 难度：中等

如图，设△ABC的面积是1，D是边BC上一点，且，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为，则的值为    ．

9. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为    ．

10. 难度：中等

已知α、β是方程x²-x-1=0的两个根，则α⁴+3β的值为    ．

11. 难度：中等

△ABC中，有一内角为36°，过顶点A的直线AD将△ABC分成2个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状（相似的认为是同一形状）的△ABC最多有    个．

三、解答题

12. 难度：中等

有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

13. 难度：中等

如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．
求证：．

14. 难度：中等

已知函数y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．