2010年广东省茂名市高州一中附属实验中学学科竞赛模拟初三数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知2x²-3xy+y²=0（xy≠0），则的值是（ ）
A．2，
B．2
C．
D．-2，

2. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为-1和4，则的值为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．-6

3. 难度：中等

已知AD是△ABC的高，AB=4，AC=3，AD=2，则△ABC的外接圆的直径是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

4. 难度：中等

一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y₁）、（-1，y₂）、（，y₃）是函数图象上的三个点，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（ ）
A．y₂＜y₃＜y₁
B．y₁＜y₂＜y₃
C．y₃＜y₁＜y₂
D．y₃＜y₂＜y₁

5. 难度：中等

某商店有一架不准确的天平（其臂平不等长）及1千克砝码，某顾客要购2千克糖果，售货员将1千克砝码放于左盘，置糖果于右盘使之平衡后给顾客，然后又将1千克砝码放于右盘另置糖果于左盘，平衡后再给顾客，这样称给顾客2千克糖果（ ）
A．公平
B．顾客吃亏
C．长臂大于短臂长2倍时商店吃亏，小于2倍时顾客吃亏
D．商店吃亏

6. 难度：中等

假设汽车的牌照都是5位数（不能全是0），那么迎面驶来的一辆汽车的牌照号码是3的倍数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，且满足h₂+h₃-h₁=6，那么等边△ABC的面积为（ ）

A．12
B．9
C．8
D．4

8. 难度：中等

小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，问小鸡被套中几次（ ）
A．1次
B．2次
C．4次
D．5次

9. 难度：中等

水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间关系如图2所示，某天0点到6点该水池的蓄水量与时间关系如图3所示，下列论断：
①0点到1点，打开2个进水口，关闭出水口；
②1点到3点，同时关闭2个进水口和1个出水口；
③3点到4点，关闭2个进水口，打开出水口；
④5点到6点，同时打开2个进水口和1个出水口．其中可能正确的论断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

10. 难度：中等

若函数，则当自变量x取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．540
B．390
C．194
D．197

二、填空题

11. 难度：中等

设（1+x）²（1-x）=a+bx+cx²+dx³，则a+b+c+d=    ．

三、解答题

12. 难度：中等

某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16．从第二排起，每排比前一排多一个座位．问：剧场共有多少个座位？

四、填空题

13. 难度：中等

如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S₁，S，S₃，若S₁+S₃=10，则S=    ．

14. 难度：中等

已知：则（x+y）：z的值为    ．

15. 难度：中等

观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，…则第n个图形中阴影部分的面积为    •（用字母n表示）

五、解答题

16. 难度：中等

若m适合关系式：，求m的值．

17. 难度：中等

设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x-2）²+（a-m）²=2mx+a²-2am的两根都是正整数，求m的值．

六、填空题

18. 难度：中等

如图，已四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：    （用“能”或“不能”填空）．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．

七、解答题

19. 难度：中等

某公司33名职工的月工资（单位：元）如下：

职务	董事长	副董事长	董事	总经理	经理	管理员	职员
人数	1	1	2	1	5	3	20
工资	5500	5000	3500	3000	2500	2000	1500

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（精确到个位）
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又各是多少？（精确到个位）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平并说明理由．

20. 难度：中等

阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘记为aⁿ，记为aⁿ．如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log₂4=______，log₂16=______，log₂64=______．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log_aM+log_aN=______；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义证明上述结论．

21. 难度：中等

用大小两种箱子包装720件产品，有三种包装方案：
方案一：产品的一半用大箱装，一半用小箱装，要用75只箱子；
方案二：产品用大箱装，其余用小箱装；
方案三：产品用大箱装，其余用小箱装，那么比“方案一”少用5只箱子．
如果每只大箱子的包装费比每只小箱子的包装费高k%，试确定选择哪种包装方案能使包装费用最低？

22. 难度：中等

如图，某港口有一灯塔A，灯塔A的正东有B、C两灯塔，以BC为直径的半圆区域内有若干暗礁，BC=18海里，一船在M处测得灯塔A、C分别在船的南偏西60°和南偏西15°方向，船沿MA方向行驶6海里恰好处在灯塔C的正北方向N处．
（1）求CN的长（精确到0.1海里）；
（2）若船继续沿MA方向朝A行驶，是否有触礁的危险？
（参考数值：=1.414，=1.732，sin15°=0.2588，cos15°=0.9658，tan15°=0.2680，cot15°=3.732）

23. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：．

24. 难度：中等

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

25. 难度：中等

如图，已知抛物线y=a（x-1）²+3（a≠0）经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．