2011-2012学年北京市西城区（南区）九年级（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=2（x-1）²+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（1，-1）
C．（-1，1）
D．（-1，-1）

2. 难度：中等

已知相交两圆的半径分別为4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．11

3. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，BD=2，则AE的长为（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

下列图形中，中心对称图形有（ ）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

6. 难度：中等

抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）

A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．x=3是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=20°，则∠A=    °．

10. 难度：中等

将抛物线y=x²先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是    ．

11. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4．以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时α等于    °，△DEG的面积为    ．

12. 难度：中等

已知二次函数，（1）它的最大值为    ；
（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m=    ，n=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，P均为格点．
（1）在网格中作图：以点P为位似中心，将△ABC的各边长放大为原来的两倍，A，B，C的对应点分别为A₁，B₁，C₁；
（2）若点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，2），则（1）中点C₁的坐标为______．

15. 难度：中等

已知抛物线y=x²+4x-5．
（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；
（2）用配方法将y=x²+4x-5化成y=a（x-h）²+k的形式．

16. 难度：中等

如图，三角形纸片ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=6，在AC上取一点 E，沿BE 将该纸片折叠，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求DE的长．

17. 难度：中等

学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

18. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=10，，求AC的长和tanB的值；
（2）若AD=1，∠ADC=α，参考（1）的计算过程直接写出的值（用sinα和cosα的值表示）．

19. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为（x，y）．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；
（2）画出点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．

20. 难度：中等

已知函数y=x²+bx+c（x≥0），满足当x=1时，y=-1，且当x=0与x=4时的函数值相等．
（1）求函数y=x²+bx+c（x≥0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；
（2）若f（x）表示自变量x相对应的函数值，且又已知关于x的方程f（x）=x+k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

22. 难度：中等

阅读下列材料：
题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与a+x的大小关系，并加以说明．
思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与a+x的差y=ax-（a+x），再说明y的符号即可．
现给出如下利用函数解决问题的方法：
简【解析】
可将y的代数式整理成y=（a-1）x-a，要判断y的符号可借助函数y=（a-1）x-a的图象和性质解决．
参考以上解题思路解决以下问题：
已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0．
（1）分别用含a的代数式表示4b，4c；
（2）说明a，b，c之间的大小关系．

23. 难度：中等

已知抛物线y=kx²+（k-2）x-2（其中k＞0）．
（1）求该抛物线与x轴的交点及顶点的坐标（可以用含k的代数式表示）；
（2）若记该抛物线顶点的坐标为P（m，n），直接写出|n|的最小值；
（3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

24. 难度：中等

已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．

25. 难度：中等

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=______