2011-2012学年北京市西城区外国语中学九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2
B．1：4
C．1：
D．2：1

3. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列抛物线通过先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，可得到抛物线y=3x²的是（ ）
A．y=3（x+3）²-2
B．y=3（x+3）²+2
C．y=3（x+2）²-3
D．y=3（x-2）²+3

5. 难度：中等

已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC=2.2m，CA=0.8m，那么树DB的高度是（ ）

A．6m
B．5.6m
C．5.4m
D．4.4m

6. 难度：中等

如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）

A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

7. 难度：中等

如图，Rt△ABC绕O点逆时针旋转90°得Rt△BDE，其中∠ABD=∠ACB=∠BED=90°，AC=3，DE=5，则OC的长为（ ）

A．
B．
C．3+2
D．4+

8. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b²与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是    ．

10. 难度：中等

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则cos∠BAD=    ．

11. 难度：中等

二次函数y=ax²+c（c不为零），当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，则x₁与x₂的关系是    ．

12. 难度：中等

二次函数的图象如图所示，点A位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y轴的正半轴上，点 B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函数位于第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都为等边三角形，则△AB₁A₁的边长=    ，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：sin²60°-tan30°•cos30°+tan45°．

14. 难度：中等

已知：如图，DE∥BC交BA的延长线于D，交CA的延长线于E，AD=4，DB=12，DE=3．求BC的长．

15. 难度：中等

已知：抛物线y=（m-1）x²+mx+m²-4的图象经过原点，且开口向上．
（1）确定m的值；
（2）求此抛物线的顶点坐标；
（3）画出抛物线的图象，结合图象回答：当x取什么值时，y随x的增大而增大？
（4）结合图象回答：当x取什么值时，y＜0？

16. 难度：中等

如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（-5，-1），C（-1，-2），并求出B点坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′．请在图中画出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标．
（3）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后
的图形△A″B″C″．

17. 难度：中等

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=4，AD：DC=1：3时，求DE的长．

18. 难度：中等

如图，Rt△DBC中，∠DBC=90°，BG⊥DC，BA=BC=20，AC=32．求AD的长．

19. 难度：中等

已知：抛物线C₁：y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B （3，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C₂经过坐标原点，并写出C₂的解析式；
（3）把抛物线C₁绕点A（-1，O）旋转180°，写出所得抛物线C₃顶点D的坐标．

20. 难度：中等

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围．

21. 难度：中等

在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE与正方形EFCD的位置如图所示．

（1）请你按下列要求画图：
①连接BD交EF于点M；
②在AE上取一点P，连接BP，MP，使△PEM与△PMB相似；
（2）若Q是线段BD上一点，连接FQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足，则的值为______．

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

23. 难度：中等

如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD=AE．
（1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF-EF=AF；
（2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

24. 难度：中等

如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）确定b，c的值；
（2）求线段QH的长度（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△COQ与△QPH相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．