2011-2012学年浙江省杭州市十三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若2y-3x=0，则x：y等于（ ）
A．3：2
B．4：9
C．2：3
D．9：4

2. 难度：中等

已知反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．点（-2，-1）在它的图象上
B．双曲线不经过第二、四象限
C．它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形
D．函数值y随x的增大而减小

3. 难度：中等

如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则∠AOB的度数为（ ）

A．60°
B．150°
C．120°
D．135°

4. 难度：中等

抛物线y=x²+1关于原点对称的抛物线的解析式为（ ）
A．y=x²-1
B．y=-x²-1
C．y=-x²+1
D．y=-（x+1）²

5. 难度：中等

若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为（ ）

A．90°
B．115°
C．125°
D．180°

6. 难度：中等

已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＜0
B．-1＜x＜1或x＞2
C．x＞-1
D．x＜-1或1＜x＜2

7. 难度：中等

下列命题中，其中正确的命题个数有（ ）
（1）在△ABC中，已知AB=6，AC=，∠B=45°，则∠C的度数为60°；
（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；
（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；
（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1，则AP=．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（ ）

A．8
B．9.5
C．10
D．11.5

9. 难度：中等

对于任意实数m，抛物线y=x²-2mx+m²+m+1的顶点一定在（ ）
A．直线y=x上
B．直线y=x+1上
C．直线y=-x-1上
D．抛物线y=x²-2x+3上

10. 难度：中等

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G．连接GF．下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为20°，要使木桩向上移动5cm，则楔子沿水平方向前进（如箭头所示）了    cm．

12. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE=    ．

13. 难度：中等

如图，已知双曲线与矩形OABC的对角线OB相交于点D，且DB：OD=2：3，则矩形OABC的面积为    ．

14. 难度：中等

如图，是一次国际数学教育大会的会徽的图案，蕴藏着许多数学知识．在△AB₁C中，∠C是直角，AC=CB₁=1，以AB₁为直角边在△AB₁C外作Rt△AB₁B₂，并且CB₁=B₁B₂；以AB₂为直角边在△AB₁B₂外作Rt△AB₂B₃，且CB₁=B₁B₂=B₂B₃…照此方式继续下去，以△ACB₁为第一个三角形，则第n个三角形的面积与第（n+1）个三角形的面积比为    ．

15. 难度：中等

如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的每个弓形的面积为    ．

16. 难度：中等

二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2（0≤x≤2）的最小值为3，则a的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）计算：cos60°+sin²45°-tan30°•tan45°；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=2BC，求cos∠ACD的值．

18. 难度：中等

如图，是今年10月全国第八届残运会篮球馆的步行台阶，为提高残疾运动员到场馆的安全性，决定将到达该场馆的步行台阶进行改造，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？

19. 难度：中等

“用直尺和圆规三等分任意角是世界三大几何作图不能问题之一”，2000多年来吸引了无数的数学爱好者为此探索和努力！
已知∠AOB=90°，用直尺和圆规你能三等分这个直角吗？如果能请作出图来 （尺规作图，勿写作法，留下痕迹）；如果不能，请说明理由．

20. 难度：中等

如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，-2），若S_△AOD=4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出，当y₁≥y₂时，x的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连接CD、OD．
求证：（1）△DEC∽△ODC；
（2）2CD²=CE•AB．

22. 难度：中等

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求的值．

23. 难度：中等

为参加学校科技节比赛，小明利用如图的两块边角料木板做模型，其中一块是边长为60cm的正方形；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形（如图①），小明想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受木板纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点，且顶点B所对的顶点在EF上．
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

24. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是-1，3 （点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x-7上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．