2011-2012学年北京市第三十一中学九年级（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

抛物线y=（x-1）²+2的对称轴是（ ）
A．直线x=-1
B．直线x=1
C．直线x=-2
D．直线x=2

3. 难度：中等

如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）

A．
B．
C．
D．3

4. 难度：中等

用配方法将y=x²-6x+11化成y=a（x-h）²+k的形式为（ ）
A．y=（x+3）²+2
B．y=（x-3）²-2
C．y=（x-6）²-2
D．y=（x-3）²+2

5. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，△DEF的面积为2，则△ABF的面积为（ ）

A．2
B．4
C．6
D．8

7. 难度：中等

将抛物线y=3x²先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x+2）²+1
B．y=3（x+2）²-1
C．y=3（x-2）²+1
D．y=3（x-2）²-1

8. 难度：中等

小明从二次函数y=ax²+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：
①c＜0；
②abc＞0；
③a-b+c＞0；
④2a-3b=0；
⑤c-4b＞0．你认为其中正确的信息是（ ）

A．①②③⑤
B．①②③④
C．①③④⑤
D．②③④⑤

二、填空题

9. 难度：中等

已知如图，△ABC中，DE∥BC，，BC=6，则DE=    ．

10. 难度：中等

如果函数是关于x的二次函数，则k=    ．

11. 难度：中等

如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为    米．

12. 难度：中等

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是     ．

13. 难度：中等

如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是    （注：只需写出一个正确答案即可）．

14. 难度：中等

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD，，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若△ABE是以AB为腰的等腰三角形，则CF的等于    ．

三、解答题

15. 难度：中等

计算：．

16. 难度：中等

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，a=2，求b，c．

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，试说明：AB²=AD•AC．

18. 难度：中等

如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．
求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值．

19. 难度：中等

如图，在某建筑物AC上，挂着宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得的仰角为60°，若小明的身高约1.7米，求宣传条幅BC的长（结果精确到1米）．

20. 难度：中等

商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？

21. 难度：中等

对于抛物线 y=x²-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

x	…						…
y	…						…

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x²-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是______．

22. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．

23. 难度：中等

如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β=______°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形______，______（不含全等三角形），并选一对证明．

24. 难度：中等

已知关于x的方程有实根．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程mx²+（1-m）x-a=0的所有根均为整数，求整数m的值．

25. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x²+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标．

26. 难度：中等

已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．