2012年福建省漳州市长泰五中初三数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a＜b＜0，a²+b²=4ab，则的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，则多项式a²+b²+c²-ab-bc-ca的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知a是正数，且=1，则等于（ ）
A．5
B．3
C．1
D．-3

4. 难度：中等

若x＜1，则|+|等于（ ）
A．1
B．3-2
C．2x-3
D．-2

5. 难度：中等

如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）

A．等于1米
B．大于1米
C．小于1米
D．不能确定

6. 难度：中等

若x₁，x₂是方程x²+2x-k=0的两个不相等的实数根，则+是（ ）
A．正数
B．零
C．负数
D．不大于零的数

二、填空题

7. 难度：中等

如果某商品进价降低5%而售价不变，利润可由目前的a%增加到（a+15）%，则a的值为    ．

8. 难度：中等

已知x²+xy=3，xy+y²=-2，则2x²-xy-3y²=    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长是    ．

10. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a=2的两个实数根，则（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值为    ．

11. 难度：中等

在一长8米宽6米的花园中欲挖一面积为24米²的矩形水池，且使四边所留走道的宽度相同，则该矩形水池的周长应为    米．

12. 难度：中等

△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x²-12x+m=0的两个根，则m的取值范围    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知关于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

14. 难度：中等

观察按下列规则排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…（*）
（1）在（*）中，从左起第m个数记为F（m），当F（m）=时，求m的值和这m个数的积
（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd=2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，说明理由．

15. 难度：中等

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．