2007-2008学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（-1，-2）
B．（-1，2）
C．（1，-2）
D．（2，1）

2. 难度：中等

如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB等于（ ）

A．40°
B．50°
C．80°
D．100°

3. 难度：中等

下列事件为必然事件的是（ ）
A．中秋节晚上一定能看到月亮
B．明天的气温一定会比今天的高
C．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖
D．地球上，上抛的篮球一定会下落

4. 难度：中等

将抛物线y=3x²向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=3x²-2
B．y=3x²
C．y=3（x+2）²
D．y=3x²+2

5. 难度：中等

下列各图中，为中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）
A．250πcm²
B．500πcm²
C．750πcm²
D．1000πcm²

7. 难度：中等

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠P=60°，PA=2，⊙O的直径等于（ ）

A．
B．
C．2
D．1

8. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

已知△ABC∽△A₁B₁C₁，AB：A₁B₁=2：3，则S_△ABC与S_△A1B1C1之比为    ．

10. 难度：中等

在一个不透明的口袋中，装有12个黄球和若干的红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李通过很多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率值稳定在25%，则该袋中有红球的个数可能是    个．

11. 难度：中等

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于    ．

12. 难度：中等

如图，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移    个单位长．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？

15. 难度：中等

如图，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过点O，若CD=4，EM=6，求⊙O的半径．

16. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知，sin∠ACD=，求AB的长．

17. 难度：中等

如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，-1），B（4，-1），C（3，-4）．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB₁C₁．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB₁C₁，并写出点B₁的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A₂B₂C₂，使得它与△ABC的位似比等于2：1．

18. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值如表：

x	…	-2	-1		1	3	…
y	…	13	6	1	-2	-2	…

（1）写出二次函数图象的对称轴；
（2）当函数值y=13时，求自变量x的值．

19. 难度：中等

如图，现有两个边长为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知B，C，B′，C′在同一直线上，且点C与点B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割，平移，旋转的方法，拼出两个相似比为1：3的三角形．
要求：（1）借助原图拼图；
（2）简要说明方法；
（3）指明相似的两个三角形．

20. 难度：中等

四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．

21. 难度：中等

如图，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好． 站在完好的桥头A测得路边的小树D在它的北偏西30°，向正北方向前进32米到断口B处，又测得小树D在它的北偏西45°，请计算小桥断裂部分的长．（，结果保留整数）

22. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点，（D不与A、B 重合）以DA为一边作∠DAC，使∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）过点O作OE∥BD交AC于E，交AD于F，且EF=4，AD=6，求BD的长．

23. 难度：中等

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）

24. 难度：中等

如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（-1，0），抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

25. 难度：中等

已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=a，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE．
（1）当a=45°时，求△EAD的面积；
（2）当a=30°时，求△EAD的面积；
（3）当0°＜a＜90°时，猜想△EAD的面积与α大小有何关系？若有关，写出△EAD的面积S与a的关系式；若无关，请证明结论．