2005年山西省太原市初中数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简根式的结果是（ ）
A．2
B．-2
C．
D．-

2. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，那么a+b+c的取值范围是（ ）

A．-2＜a+b+c＜0
B．0＜a+b+c＜2
C．-4＜a+b+c＜0
D．0＜a+b+c＜4

3. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程a²x²+b²x+c²=O ①的两根之和是一元二次方程ax²+bx+c=0 ②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（ ）
A．a²=bc
B．b²=ac
C．c²=ab
D．abc=1

4. 难度：中等

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆，已知AB=1．则⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄．所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在高为4cm，底面边长为18cm的正方形方盒中，装入直径为40mm的标准型号的乒乓球，则最多可装入乒乓球的个数是（ ）
A．16
B．18
C．20
D．23

6. 难度：中等

今天是2005年3月20日．星期日．那么，今天以后的第2005²天是（ ）
A．星期三
B．星期四
C．星期五
D．星期六

二、填空题

7. 难度：中等

111111111²（9个1）=    ．

8. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个不同的交点为A、B，抛物线顶点为C．则S_△ABC=    ．

9. 难度：中等

已知，则=    ．

10. 难度：中等

有两个正整数a、b，它们的平方和为5 8 5，而最大公约数与最小公倍数的和为87．则a+b=    ．

11. 难度：中等

如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE=BF=CG=DH=x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数式表示四边形PQRS的面积S．则S=    ．

12. 难度：中等

已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6：5：4．则在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三角形所对的角度之比为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

三项式x²-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积
（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？
（2）当n≤2005时，求最大整数n

14. 难度：中等

如图直线l：y=kx+2-4k（k为实数）．
（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．

15. 难度：中等

如图．已知△ABC的垂心为H．外接圆⊙O，M为AB的中点．连接MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．

16. 难度：中等

已知两个二次函数y_A=x²+3mx-2和y_B=2x²+6mx-2．其中m＞0．构造函数y：
当y_A＞y_B时．设y=y_A；
当y_A≤y_B时，设y=y_B．
若自变量x在-2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值．