2010年浙江省杭州市“思维数学”夏令营数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果m是大于1的偶数，那么m一定小于它的（ ）
A．相反数
B．倒数
C．绝对值
D．平方

2. 难度：中等

有理数a，b，c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）

A．a+b+c＞0
B．|a-c|=|a|+c
C．c＞|a+b|
D．|b-c|=|c-a|

3. 难度：中等

如图，在4×4的正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系是（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3
B．∠1=∠2＞∠3
C．∠1＜∠2=∠3
D．∠1=∠2=∠3

4. 难度：中等

2⁵⁵，3⁴⁴，5³³，6²²这四个数中最小的数是（ ）
A．2⁵⁵
B．3⁴⁴
C．5³³
D．6²²

5. 难度：中等

如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

|x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

7. 难度：中等

把14个棱长为1的正方体在地面上堆叠如图所示的立体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为（ ）

A．21
B．24
C．33
D．37

8. 难度：中等

下面有三个命题：①五边形至少有两个钝角，②十二边形共有54条对角线，③内角和等于外角和的多边形的边数为4．其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

如图所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F的度数是（ ）

A．30°
B．40°
C．50°
D．60°

10. 难度：中等

如图圆中的阴影部分面积占圆面积的，占长方形面积的；三角形中阴影部分面积占三角形面积的，占长方形面积的．则圆、长方形、三角形的面积比（ ）

A．24：20：45
B．12：10：22
C．48：40：89
D．20：28：42

二、填空题

11. 难度：中等

某市初中毕业、升学考试各学科及满分值情况如下表：

科  目	语文	数学	英语	社会政治	自然科学	体育
满分值	150	150	120	100	200	30

若把该市初中毕业、升学考试各学科满分值比例绘成扇形统计图，则数学所在的扇形的圆心角是    度．

12. 难度：中等

已知x＜0，-1＜y＜0，由x，xy，xy²中，最大的数是     ； 最小的数是     ．

13. 难度：中等

如图，不同的线段共有     条．

14. 难度：中等

若有5个整数x使得不等式1+a≤x＜2成立，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

电子跳蚤落在数轴上的某点k，第一步从k向左跳1个单位到k₁，第二步由k₁向右跳2个单位到k₂，第三步由k向左跳3个单位到k₃，第四步由k₃向右跳4个单位到k₄，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k₁₀₀所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k点所表示的数是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．

17. 难度：中等

某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：

月用水量	不超过12吨的部分	超过12吨不超过18吨的部分	超过18吨的部分
收费标准（元/吨）	2.00	2.50	3.00

（1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？
（2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？

18. 难度：中等

对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；…；按此规律继续下去，可得到△A_nB_nC_n．
（1）求面积S₁；（2）求面积S_n．

19. 难度：中等

已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．
（1）试用x，y，z这3个字母表示a； （不能出现字母b，c）
（2）试说明：．

20. 难度：中等

在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．规定26个英文字母按顺序分别对应整数0到25．现有一个由4个字母构成的密码单词，若记4个字母对应的数字分别为x₁，x₂，x₃，x₄，且已知整数x₁+2x₂，3x₂，x₃+2x₄，3x₄除以26的余数分别为9，16，23，12，试求这个密码单词．