2012年全国初中数学联赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a

2. 难度：中等

方程x²+2xy+3y²=34的整数解（x，y）的组数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知实数a，b满足a²+b²=1，则a⁴+ab+b⁴的最小值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．

5. 难度：中等

若方程x²+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根x₁，x₂满足，则实数p的所有可能的值之和为（ ）
A．0
B．
C．-1
D．

6. 难度：中等

由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有（ ）
A．36个
B．40个
C．44个
D．48个

二、填空题

7. 难度：中等

已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=    ．

8. 难度：中等

使得5×2^m+1是完全平方数的整数m的个数为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=    ．

10. 难度：中等

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，，则a²+b²+c²=    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

12. 难度：中等

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

13. 难度：中等

已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．