2000年第15届江苏省初中数学竞赛试卷（初三）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

多项式x²-x+l的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

2. 难度：中等

式子10-10|2x-3|（1≤x≤2）的不同整数值的个数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

3. 难度：中等

自然数n满足，这样的n的个数是（ ）
A．2
B．1
C．3
D．4

4. 难度：中等

在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（ ）
A．6
B．7
C．5
D．4

5. 难度：中等

A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A中奖，那么B也中奖：如果B中奖，那么C中奖或A不中奖：如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖：如果D中奖，那么A也中奖则这四个人中，中奖的人数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知△ABC的三边分别为x、y、z．
（1）以、、为三边的三角形一定存在；
（2）以x²、y²、z²为三边的三角形一定存在；
（3）以（x+y）、（y+z）、（z+x）为三边的三角形一定存在；  
（4）以|x-y|+l、|y-z|+l、|z-x|+l为三边的三角形一定存在．
以上四个结论中，正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

已知x²+x-6是多项式2x⁴+x³-ax²+bx+a+b-1的因式，则a=    ．

8. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AC⊥BD，已知，则=    ．

9. 难度：中等

函数y=3-|x-2|的图象如图所示，则点A与B的坐标分别是A（    ）、B（    ）．

10. 难度：中等

已知3m²-2m-5=0，5n²+2n-3=0，其中m、n为实数，则=    ．

11. 难度：中等

初三（1）班语文、英语、数学三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三门课中，至少有一门优秀的共有22名，那么三门课全是优秀的最多有     名，最少有    名．

12. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为    ，最小值为    ．

13. 难度：中等

新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择（每个项目或者被全部投资，或者不被投资），各项目所需投资金额和预计年均收益如下表：

项目	A	B	C	D	E	F
投资（亿元）	5	2	6	4	6	8
收益（亿元）	0.55	0.4	0.6	0.4	0.9	1

如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1.6亿元，那么，当选择的投资项目是    时，投资的收益总额最大．

14. 难度：中等

已知由小到大的10个正整数a₁，a₂，a₃，…，a₁₀的和是2000，那么a₅的最大值是    ，这时a₁₀的值应是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．

16. 难度：中等

已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．

17. 难度：中等

依法纳税是每个公民应尽的义务．从2008年3月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过2000元，不需交税；超过2000元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：
（1）某工厂一名工人2008年3月的收入为2 400元，问他应交税款多少元？
（2）设x表示公民每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当2500≤x≤4000时，请写出y关于x的函数关系式；
（3）某公司一名职员2008年4月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？

级别	全月应纳税所得额	税率（%）
1	不超过500元的	5
2	超过500元至2 000元的部分	10
3	超过2 000元至5 000元的部分	15
4	超过5 000元至20 000元的部分	20
…	…	…

18. 难度：中等

（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
（2）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APC=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．