山东省青岛市李沧区2018届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是

A．       B．       C．       D．

3. 难度：中等

一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10个球，记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20次，发现共有黑球48个，由此估计袋中的白球数是（　　）个．

A. 28个    B. 38个    C. 48个    D. 50个

4. 难度：中等

若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ）

A.     B. 且    C.     D. 且

5. 难度：中等

二次函数的图象如图所示．下列说法中不正确的是【    】

A．     B．       C．    D．

6. 难度：中等

随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（　　）

A. x≤40    B. x≥40    C. x＞40    D. x＜40

7. 难度：中等

如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　）

A. 5米    B. 3米    C. 2米    D. 2米或5米

8. 难度：中等

在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（　　）

A.     B.

C.     D.

二、填空题

9. 难度：中等

计算cos60°+sin30°=_____．

10. 难度：简单

已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为　　cm²．

11. 难度：简单

平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－x²＋x＋ (单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为______m.

12. 难度：简单

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为　  　.

13. 难度：简单

如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为        cm（参考数据：sin20°≈0．342，cos20°≈0．940，sin40°≈0．643，cos40°≈0．766．计算结果精确到0．1cm，可用科学计算器）．

14. 难度：中等

如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第（6）个图形的表面积_____个平方单位．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．

16. 难度：中等

（1）用配方法解方程：x²﹣2x﹣3=0

（2）求二次函数y=﹣3x²+6x+2的图象与x轴的交点坐标．

17. 难度：中等

如图，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.

请你再图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC；

如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度.

18. 难度：中等

商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是　   　；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶油的概率．

19. 难度：中等

南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．

20. 难度：中等

某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；

（2）求出图中a的值；

（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．

21. 难度：中等

在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）证明：△ABD≌△BAC．

（2）四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明．

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．

22. 难度：中等

某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。

当x＝1时，ｙ＝1.4；当x＝3时，ｙ＝3.6。

信息2：销售B种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系。

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

23. 难度：困难

问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？

问题显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．

建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：

如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．

【解析】
如图2，作AM⊥BC于点M，

∴△AOM为直角三角形．

又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OA•sinα

∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα．

问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．

如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）

新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=　   　．

模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）

24. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，▱AQPD为矩形．

（2）当t为何值时，▱AQPD为菱形．

（3）是否存在某一时刻t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．