湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列方程是一元二次方程的是(　   )

A. 2x²＋x－y＝3    B. x²＋＝1

C. x²＝1    D. (2x＋1)(2x－1)＝4(x＋1)²

2. 难度：简单

一元二次方程(x＋6)²－9＝0的解是(　 　)

A. x₁＝6，x₂＝－6    B. x₁＝x₂＝－6

C. x₁＝－3，x₂＝－9    D. x₁＝3，x₂＝－9

3. 难度：简单

将一元二次方程2x²＝1－3x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为(　  　)

A. －3x，1    B. 3x，－1    C. 3，－1    D. 2，－1

4. 难度：中等

解一元二次方程3(7x＋4)²＝5(7x＋4)的最适当的方法是(　 　)

A. 直接开平方法    B. 配方法    C. 公式法    D. 因式分解法

5. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程3x²+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）

A. 方程有两个相等的实数根

B. 方程有两个不相等的实数根

C. 没有实数根

D. 无法确定

6. 难度：简单

用配方法解关于x的一元二次方程x²﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）

A. （x﹣1）²=4    B. （x+1）²=4    C. （x﹣1）²=16    D. （x+1）²=16

7. 难度：中等

某商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元．设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是(　 　)

A. 28(1＋x)²＝40    B. 28(1＋x)²＝40－28

C. 28(1＋2x)＝40    D. 28(1＋x²)＝40

8. 难度：中等

设x₁，x₂是方程x²＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为(　 　)

A. 5    B. －5    C. 1    D. －13

9. 难度：中等

如图，在一幅长为60 cm，宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3 500 cm²，设纸边的宽为x cm，则根据题意可列方程为(　 　)

A. (60＋x)(40＋x)＝3 500    B. (60＋2x)(40＋2x)＝3 500

C. (60－x)(40－x)＝3 500    D. (60－2x)(40－2x)＝3 500

10. 难度：简单

已知2是关于x的方程x²-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A. 10    B. 14    C. 10或14    D. 8或10

二、填空题

11. 难度：中等

一元二次方程x²＝16的解是______________．

12. 难度：简单

一元二次方程2x(x－3)＝5(x＋2)－7化成一般形式是______________．

13. 难度：简单

孔明同学在解一元二次方程x²－3x＋c＝0时，正确解得x₁＝1，x₂＝2，则c的值为______．

14. 难度：中等

已知x＝2是关于x的方程x²－2mx＋3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为______．

15. 难度：中等

（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是                  ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm²的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为_____．

四、填空题

17. 难度：中等

如右图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m²，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程         ．

 

18. 难度：困难

已知关于x的方程x²＋2kx＋k²＋k＋3＝0的两根分别是x₁，x₂，则(x₁－1)²＋(x₂－1)²的最小值是________．

五、解答题

19. 难度：中等

用适当的方法解下列方程：

(1)2x²＋7x－4＝0；

(2)(x－3)²＋2x(x－3)＝0.

20. 难度：中等

已知关于x的方程x²＋ax＋a－2＝0.

(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程(a＋c)x²＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

22. 难度：中等

电动自行车已成为市民日常出行的首选工具。据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆.

（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？

23. 难度：中等

某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

24. 难度：简单

先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式y²＋4y＋8的最小值．

【解析】
y²＋4y＋8＝y²＋4y＋4＋4＝(y＋2)²＋4，∵(y＋2)²≥0，∴(y＋2)²＋4≥4，∴y²＋4y＋8的最小值是4.

(1)求代数式m²＋m＋4的最小值；

(2)求代数式4－x²＋2x的最大值；

(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图，设AB＝x(m)，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

25. 难度：困难

已知关于x的一元二次方程x²－（2k＋1）x＋k²＋2k＝0有两个实数根x₁，x_2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得x₁·x₂－x₁²－x₂²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．