北京101中学2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

下列各式运算中结果是的是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ）

A.     B.

C.     D.

4. 难度：简单

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（　　）

A. 6    B. 8    C. 10    D. 12

5. 难度：中等

如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹。

步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是(       )

A. BH垂直平分线段AD    B. AC平分∠BAD

C. S△ABC=BC⋅AH    D. AB=AD

6. 难度：中等

如图，在中，两点分别在AC、BC边上且若，则等于（    ）

A. 25°    B. 30°    C. 35°    D. 40°.

7. 难度：中等

多项式运用完全平方公式因式分解，则m的值是（    ）

A. 3    B. 6    C.     D.

8. 难度：中等

若a，b，c是三角形的边长，则式子的值是（    ）

A. 正数    B. 负数    C. 零    D. 不确定

9. 难度：中等

如图，在三角形纸片ABC中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为（    ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD=α，则∠ACB的度数为（　　）

A. 45°    B. α-45°    C. α    D. 90°-α

二、填空题

11. 难度：中等

点关于x轴的对称点的坐标是____________。

12. 难度：中等

若等腰三角形中有一个角等于100°，则这个等腰三角形的底角的度数为________。

13. 难度：中等

已知则，则值为____________。

14. 难度：中等

若无意义，则代数式的值为___________。

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是_____度．（用含α的代数式表示）

16. 难度：中等

如图，在△ABC中, ,AB垂直平分线DE交AB边于点D,交BC边于点E,在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为___________。

17. 难度：中等

已知，则_________________。

三、解答题

18. 难度：中等

计算下列各题：

（1）   

（2）

（3）       

（4）。

19. 难度：中等

把下列各式分解因式：

（1）      

（2）    

（3）

20. 难度：简单

如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．试判断△OEF的形状，并说明理由．

21. 难度：中等

先化简，再求值：，其中。

22. 难度：中等

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．

（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．

（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．

（3）填空：∠C+∠E＝　   　．

23. 难度：中等

如图，已知：线段AB。

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E。

①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围是                ；

②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD。

24. 难度：中等

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　                                   。

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式。

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a²+b²+c²=　       　。

（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=　       。

25. 难度：中等

定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°  时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”.

（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”。

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=　    　DE；

②如图3，当∠BAC=120°，ED=6时，AM的长为　       　。

（2）猜想论证：

在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明。

（3）拓展应用

如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CA=，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”。并回答下列问题。

①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为                    ；

②直接写出△PBC的“顶心距”的长为                  。

26. 难度：中等

（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于　           　时，线段AC的长取到最大值，则最大值为　      ；（用含a、b的式子表示）。

（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB，AC为边，作等边和等边，连接CD，BE.

①图中与线段BE相等的线段是线段           ，并说明理由；  

②直接写出线段BE长的最大值为             。

（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为                ，及此时点P的坐标为                            。（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：）