吉林省长春市片区2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是

A. 点A在圆外                         B. 点A在圆上

C. 点A在圆内                         D. 不能确定

3. 难度：中等

若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ）

A.     B. 且    C.     D. 且

4. 难度：中等

设A（﹣2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y=﹣（x+1）²+a上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A. y₁＞y₂＞y₃    B. y₁＞y₃＞y₂    C. y₃＞y₂＞y₁    D. y₃＞y₁＞y₂

5. 难度：简单

如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(　　)

A. (2，10) B. (﹣2，0)

C. (2，10)或(﹣2，0) D. (10，2)或(﹣2，0)

6. 难度：中等

一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²+bx+c在同一坐标系中的图象大致是

A.     B.     C.     D.

二、填空题

7. 难度：简单

方程x²=x的解是______________.

8. 难度：中等

如图，△ABC的顶点 A、B、C均在⊙O上，若∠ABC=26°，则∠AOC的大小是         ．

 

9. 难度：简单

已知关于x的一元二次方程x²+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为________．

10. 难度：中等

在同一平面直角坐标系内，将函数 y=2x²+4x+1 的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，得到图象的解析式是________．

11. 难度：中等

在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△B₂₀A₂₁B₂₁的顶点A₂₁的坐标是_____．

12. 难度：中等

若等腰三角形一边为3，另两边是关于的方程x²﹣（k+2）x+2k=0的根，则三角形的周长为_____．

三、解答题

13. 难度：中等

(1)解方程x²﹣4x=12；

(2)如图，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，若∠APB=110°，∠B=30°，∠PAC=20°，求旋转角的度数．

14. 难度：中等

在下列的网格图中.每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.

(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB₁C₁；

(2)若点B的坐标为(-3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；

(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A₂B₂C₂，并标出B₂、C₂两点的坐标.

15. 难度：中等

先化简，再求值：，其中a是方程x²－x=6的根．

16. 难度：中等

如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：

（1）在图 1 中，画出一条弦与 AD 相等；

（2）在图 2 中，画出一条直线与 AB 垂直平分．

17. 难度：中等

阅读下列例题的解答过程：解方程：3（x﹣2）²+7（x﹣2）+4=0．

【解析】
设 x﹣2=y，则原方程化为：3y²+7y+4=0．

∵a=3，b=7，c=4，∴b²﹣4ac=7²﹣4×3×4=1．

∴y= =．∴y₁=﹣1，y₂=﹣ ．

当 y=﹣1 时，x﹣2=﹣1，∴x=1；

当 y=﹣时，x﹣2=﹣，∴x= ．

∴原方程的解为：x₁=1，x₂=．

（1）请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）²﹣5（x﹣3）﹣7=0；

（2）若（a²+b²）（a²+b²﹣2）=3，求代数式 a²+b²的值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．

19. 难度：中等

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．

（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：

①　   　，②　   　，③　   　，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．

20. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

1.猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．

2.求证：PC是⊙O的切线

21. 难度：中等

某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数（利润=售价﹣制造成本）．

（1）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

（3）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

22. 难度：中等

在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B 交 AC 于点 E，A₁C₁ 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．

（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA₁ 与 FC 有怎样的数量关系？ 并证明你的结论；

（2）如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC₁DA 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．

23. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，说明理由