江苏省江阴市澄西片2019届九年级上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知x=2是关于x的一元二次方程x²﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（　　）

A. 0    B. ﹣1    C. 1    D. 2

2. 难度：中等

两个三角形的相似比是3∶2，则其面积之比是     (      )

A. ∶    B. 3∶2    C. 9∶4    D. 27∶8

3. 难度：中等

若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x²－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为(      )

A. 5    B. 3或5    C. 13    D. 11或13

4. 难度：中等

下列说法正确的是（     ）

A. 等弧所对的圆心角相等    B. 平分弦的直径垂直于这条弦

C. 经过三点可以作一个圆    D. 相等的圆心角所对的弧相等

5. 难度：简单

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若，则的值为（　　）

A. 1：2    B. 2：1    C. 1：3    D. 3：1

6. 难度：中等

如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ）

A. 1cm    B. 2cm    C. 8cm    D. 2cm或8cm

7. 难度：中等

如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在 上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（      ）

A. 不变    B. 变小    C. 变大    D. 不能确定

8. 难度：中等

如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'＝1，则A'D等于                       (        )

A. 3    B. 2    C.     D.

9. 难度：中等

如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=20°，∠B=70°，

   则∠ACB的度数为（     ）

A. 50°    B. 55°    C. 60°    D. 65°

10. 难度：中等

如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰和等腰，其中，CD与BE、AE分别交于点P、对于下列结论：

∽；；；．

其中正确的是　　

A.     B.     C.     D.

二、填空题

11. 难度：中等

若，则＝___________．

12. 难度：中等

若一元二次方程x²+x－2018=0的解为x₁、x₂，则x₁+x₂的值是__________.

13. 难度：中等

已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm².

14. 难度：简单

在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为的测杆的影长为1m，那么影长为20m的旗杆的高是______

15. 难度：中等

若点在以为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为______．

16. 难度：中等

如图，AB是的直径，点D在AB的延长线上，过点D作的切线，切点为C，若，则______．

17. 难度：简单

（2016四川省甘孜州）如图，点P₁，P₂，P₃，P₄均在坐标轴上，且P₁P₂⊥P₂P₃，P₂P₃⊥P₃P₄，若点P₁，P₂的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P₄的坐标为______________．

18. 难度：中等

如图，△ABC是等边三角形，AB=3，E在AC上且AE=AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转900，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是_______

三、解答题

19. 难度：中等

解方程：

；

；

用配方法．

20. 难度：中等

如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．

求证：∽；

求线段CD的长．

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程．

求证：方程有两个实数根；

若的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根第三边BC的长为3，当是等腰三角形时，求k的值．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点每个小方格的顶点叫格点，其中，，．

外接圆的圆心坐标是______；

外接圆的半径是______；

已知与点D、E、F都是格点成位似图形，则位似中心M的坐标是______；

请在网格图中的空白处画一个格点，使∽，且相似比为：1．

23. 难度：中等

已知：中，．

如图1，若，，，且，求AD的长；

如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注

24. 难度：中等

万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．

当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；

如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？

25. 难度：中等

如图，在直角中，，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．

若，求弧DE的度数；

若，，求BD的长．

26. 难度：中等

如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OC的长为半径的与AB相切于点M．

求证：AD与相切；

若，求图中阴影部分面积．

27. 难度：简单

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．

（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．

28. 难度：中等

已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．

（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α ，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．