北京市东城区2019届九年级3月中考模拟数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

如图，实数a和b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（　　）

A. a+b＜0    B. a﹣b＜0    C. ab＞0    D. ＜1

2. 难度：简单

抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（  　）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论①a＜b；②|b|=|d|；③a+c=a；④ad＞0中，正确的有（　　）

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

4. 难度：困难

如图，等边△ABC内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，则图中的阴影部分面积为（   ）

A.      B.      C.      D.

5. 难度：中等

在直角坐标系中，已知点P（3，4），现将点P作如下变换：①将点P先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点P₁；②作点P关于y轴的对称点P₂；③将点P绕原点O按逆时针方向旋转90°得到点P₃，则P₁，P₂，P₃的坐标分别是（　　）

A. P₁（0，0），P₂（3，﹣4），P₃（﹣4，3）

B. P₁（﹣1，1），P₂（﹣3，4），P₃（4，3）

C. P₁（﹣1，1），P₂（﹣3，﹣4），P₃（﹣3，4）

D. P₁（﹣1，1），P₂（﹣3，4），P₃（﹣4，3）

6. 难度：简单

某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（    ）

A.     B.

C.     D.

7. 难度：中等

如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A. 10    B. 12    C. 20    D. 24

二、填空题

9. 难度：中等

若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______。

10. 难度：简单

分解因式：a³﹣a＝_____．

11. 难度：简单

若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是_____．

12. 难度：中等

有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则，y₂=_____，第n次的运算结果y_n=_____．（用含字母x和n的代数式表示）．

13. 难度：中等

如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为_____．

14. 难度：中等

将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．

15. 难度：简单

甲、乙两人5次射击命中的环数分别为，甲：7，9，8，6，10；乙：7，8，9，8，8； =8，则这两人5次射击命中的环数的方差S_甲²_____S_乙²（填“＞”“＜”或“=”）．

16. 难度：中等

下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程．

已知：⊙O．

求作：⊙O的内接正方形．

作法：如图，

（1）作⊙O的直径AB；

（2）分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点；

（3）作直线MN与⊙O交于C、D两点，顺次连接A、C、B、D．即四边形ACBD为所求作的圆内接正方形．

请回答：该尺规作图的依据是_____．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：()^﹣2﹣+(﹣4)⁰﹣cos45°．

18. 难度：中等

解不等式组：并求它的整数解的和．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．

（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；

（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．

20. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²﹣（m+3）x+m+2=0．

（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．

21. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=BE=2，sin∠ACD= ，求四边形ABCD的面积．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（m，3）、B（﹣6，n），与x轴交于点C．

（1）求一次函数y=kx+b的关系式；

（2）结合图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；

（3）若点P在x轴上，且S_△ACP=S_△BOC，求点P的坐标．

23. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求证：ED为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

24. 难度：中等

某学校为了解学生的课余活动情况，抽样调查了部分学生，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如图：

（1）在这次研究中，一共调查了　   　学生，并请补全折线统计图；

（2）该校共有2200名学生，估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人？

25. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．

（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是　   　、　   　；

（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝　   　；

（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．

26. 难度：中等

如图，二次函数y＝﹣+mx+4﹣m的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与），轴交于点C．抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，D是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当﹣＜x＜1时，请求出y的取值范围；

（3）连接AD，线段OC上有一点E，点E关于直线x＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD上，求点E的坐标．

27. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．

28. 难度：困难

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．

线段AB，BC，AC的长分别为______，______，______；

折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．

请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题

A：求线段AD的长；

在y轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B：求线段DE的长；

在坐标平面内，是否存在点除点B外，使得以点A，P，C为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．