北京市（五四学制）2019届九年级上学期第一次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 的值为（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

以下事件为必然事件的是（    ）

A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0     

B．多边形的内角和是

C．二次函数的图象必过原点                       

D．半径为2的圆的周长是

4. 难度：中等

某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球

C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”

D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

5. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）

A.     B.     C.     D. 3

6. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（　　）

A. 1：    B. 1：2    C. 1：4    D. 1：8

7. 难度：简单

右图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 正方体

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（    ）

A．（―1，2）           

B．（―9，18）  

C．（―9，18）或（9，―18）   

D．（―1，2）或（1，―2）

二、填空题

9. 难度：中等

若，则的值为_____．

10. 难度：中等

△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为_____．

11. 难度：简单

在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为_____．

12. 难度：中等

如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于_____．

13. 难度：中等

某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实验．实验结果如表所示 （ 发芽率精确到 0.001 ）：

实验的麦种数	800	800	800	800	800
发芽的麦种数	787	779	786	789	782
发芽率	0.984	0.974	0.983	0.986	0.978

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为_____．

14. 难度：简单

如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=_____．

15. 难度：简单

如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=_____．

16. 难度：中等

如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为　      　cm²．（结果可保留根号）

三、解答题

17. 难度：中等

计算：4cos30°•tan60°﹣sin²45°．

18. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，

求证：△ACD∽△BCE．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．求线段EC的长度．

20. 难度：中等

已知：如图，在△ABC，BC=2，S_△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．

21. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，=，E是AB的中点，tanD=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的长．

22. 难度：简单

如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上.

（1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

23. 难度：中等

为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

组别	成绩x分	频数（人数）
第1组	25≤x＜30	4
第2组	30≤x＜35	6
第3组	35≤x＜40	14
第4组	40≤x＜45	a
第5组	45≤x＜50	10

请结合图表完成下列各题：

（1）求表中a的值；

（2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．

24. 难度：中等

如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

25. 难度：中等

阅读下面材料：

小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：

（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.

请你帮小明计算：OC=　   　；tan∠AOD=　   　；

解决问题：

如图3，计算：tan∠AOD=　   　．

26. 难度：中等

如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

27. 难度：简单

如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是图形W上的任意两点．若|x₁﹣x₂|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l_x=M；若|y₁﹣y₂|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l_y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l_x=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度l_y=|4﹣0|=4．

（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l_x　   　，l_y　   　．

（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l_x=l_y时，求点D的坐标．

（3）若图形W为函数y=x²（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l_x=l_y≤1时，请直接写出a的取值范围．