广东省2018-2019学年九年级（上）第一次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）

A.     B.

C.     D.

2. 难度：中等

已知二次函数y=x²-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d₁、d₂．设d=d₁+d₂，下列结论中：

①d没有最大值；

②d没有最小值；

③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大；

④满足d=5的点P有四个．  

其中正确结论的个数有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

3. 难度：简单

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③4a-2b+c＜0．其中正确的有（　　）

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 0个

4. 难度：中等

设x₁，x₂是方程x²+3x-3=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的值为（　　）

A. 3    B. 9    C.     D. 15

5. 难度：简单

已知一元二次方程ax²+bx+c=0中二次项系数，一次项系数和常数项之和为0，那么方程必有一根为（　　）

A. 0    B. 1    C.     D.

6. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=-2，则m的值为（　　）

A. 1    B.     C. 2    D.

7. 难度：简单

新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价x元，根据题意可列方程（　　）

A. (2900-x)(8+4×)=5000    B. (400-x)(8+4×)=5000

C. 4(2900-x)(8+)=5000    D. 4(400-x)(8+)=5000

8. 难度：简单

一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t²，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（　　）

A. 72米    B. 36米    C. 米    D. 米

9. 难度：简单

制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（　　）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：简单

方程x²-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )

A. (x-6)²=41    B. (x-3)²=4    C. (x-3)²=14    D. (x-6)²=36

二、填空题

11. 难度：中等

方程mx²-4x+1=0的根是______．

12. 难度：简单

方程3x²-9x=0的解为______．

13. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①b＜0；②a+b+c＜0；③4a-2b+c＜0；④2a-b＜0，其中正确的有______．（填代号）

14. 难度：中等

二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是______．

15. 难度：中等

已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于     。

16. 难度：中等

如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）²+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为______．

17. 难度：简单

已知关于x的一元二次方程x²-4x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．

18. 难度：中等

有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______．

19. 难度：中等

设a，b是方程x²+x-9=0的两个实数根，则a²+2a+b的值为______．

20. 难度：中等

如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y=﹣（x+1）（x﹣7）．铅球落在A点处，则OA长=________米．

三、解答题

21. 难度：简单

解方程：(1)x²-4x+1=0； (2)x（x-3）=10．

22. 难度：中等

已知二次函数y=x²-2x+c的部分图象如图所示．

(1)求c的取值范围；

(2)若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y=x²-2x+c的函数表达式．

23. 难度：中等

我们知道：x²﹣6x＝(x²﹣6x+9)﹣9＝(x﹣3)²﹣9；﹣x²+10＝﹣(x²﹣10x+25)+25＝﹣(x﹣5)²+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：

(1)按上面材料提示的方法填空：a²﹣4a＝　   　＝　   　．﹣a²+12a＝　   　＝　   　．

(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a²﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．

(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．

24. 难度：困难

如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax²﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；

（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

北国购物商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

(1)每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？

26. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．

(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(2)x为何值时y的值最大？

(3)x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小？