北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元检测试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若 为二次函数，则 的值为（   ）

A. -2或1    B. -2    C. -1    D. 1

2. 难度：中等

把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm²），则y与x之间的函数关系式为（　　）

A. y=-x²+50x                      B. y=x²-50x    C. y=-x²+25x    D. y=-2x²+25

3. 难度：中等

将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位后所得抛物线的解析式为（   ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：①b²＞4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为（2，0）；④若点（﹣4，y₁）、（﹣1，y₂）为函数图象上的两点，则y₁＜y₂ ． 其中正确结论是（   ）

A. ②④    B. ①④    C. ①③    D. ②③

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则abc，b²﹣4ac，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣这几个式子中，值为正数的有（　　）

 

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

6. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与坐标轴交于A，B两点，则一元二次方程x²+bx+c=0的根的情况是(   )

A. 没有实数根    B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根    D. 可能有实数根，也可能没有实数根

7. 难度：中等

已知点A（4，y₁），B（ ，y₂），C（﹣2，y₃）都在二次函数y=﹣2x²的图象上，则y₁  ， y₂  ， y₃的大小关系是（   ）

A. y₁＞y₂＞y₃    B. y₂＞y₃＞y₁    C. y₃＞y₂＞y₁    D. y₂＞y₁＞y₃

8. 难度：中等

如图，抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；④方程ax²+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y₂＜y₁ ． 其中正确的是（    ）

A. ①②③    B. ①③⑤    C. ①④⑤    D. ②③④

9. 难度：简单

抛物线y=ax²+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③4a-2b+c＜0；④b²-4ac＞0．其中正确的结论是 (     )

A. ①②    B. ②③④    C. ②④    D. ③④

10. 难度：中等

二次函数y=ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b²－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【    】

(A) ①②        (B) ②③         (C) ③④        (D)①④

二、填空题

11. 难度：简单

已知点P（-1，m）在二次函数 的图象上，则m的值为________；

12. 难度：困难

飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m．

13. 难度：中等

已知当x₁＝a，x₂＝b，x₃＝c时，二次函数y＝x²＋mx对应的函数值分别为y₁，y₂，y₃，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y₁＜y₂＜y₃，则实数m的取值范围是________．

14. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x	﹣1	0	0.5	2
y	﹣1	2	3.75	2

下列结论中正确的有________ 个．

(1)ac＜0；   (2)当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；(3)x=2是方程ax²+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜2时，ax²+（b﹣1）x+c＞0．

15. 难度：中等

抛物线y=﹣x²+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是     ．

16. 难度：简单

将y=2x²﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）²+n的形式，则m•n=________．

17. 难度：简单

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　．

18. 难度：中等

一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m．

19. 难度：中等

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是，小亮通过观察得出了下面四条信息：

①c＜0，②abc＜0，③a－b＋c＞0，④2a－3b＝0.你认为其中正确的有________ .（填序号）

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根x₁的取值范围是2＜x₁＜3，则它的另一个根x₂的取值范围是________．

 

三、解答题

21. 难度：简单

（6分）已知二次函数y=ax²＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．求二次函数的解析式；

22. 难度：简单

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²﹣1．

(1)m为何值时，y有最小值0；

(2)求证：不论m取何值， 函数图象的顶点都在同一直线上．

23. 难度：中等

已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.

（1）求该函数的关系式；

（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.

24. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；

（2）连接AB，求AB的长；

（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

25. 难度：中等

音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax²+bx．

（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；

（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？

（3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？

26. 难度：中等

某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．

(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

27. 难度：中等

如图，已知抛物线y=﹣x²﹣2x+m+1与x轴交于A（x₁  ， 0）、B（x₂  ， 0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x₁  ， x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x₁+x₂=﹣ ，x₁•x₂= ）

(1)求m的取值范围；

(2)若OA=3OB，求抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．

28. 难度：困难

如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm² ．

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

(2)①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？

(3)设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式．