2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什新区九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A                B               C               D

2. 难度：中等

已知m是方程x²﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m²﹣m的值等于（　　）

A. ﹣1    B. 0    C. 1    D. 2

3. 难度：中等

三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x²﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

A. 24    B. 48    C. 24或8    D. 8

4. 难度：简单

抛物线的顶点坐标是（     ）

A．        B．   C．    D．

5. 难度：简单

下列语句中不正确的有（   ）

①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 4个

6. 难度：简单

如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分  的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（    ）

A. S=t (0＜t≤3)    B. S=t² (0＜t≤3)

C. S=t² (0＜t≤3)    D. S=t² -1(0＜t≤3)

7. 难度：中等

在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

如图，中，，，若以点为旋转中心，将旋转到的位置，点在边上，则旋转角的度数是（ ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）

A. 50°    B. 20°    C. 60°    D. 70°

10. 难度：中等

如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）

A. 3cm    B. cm    C. 2.5cm    D. cm

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是_________.

12. 难度：简单

若点与关于原点对称，则________．

13. 难度：中等

半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为________ ．

14. 难度：中等

如图，若抛物线y=ax²+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解是___________．

15. 难度：中等

如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x²﹣nx﹣n²﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．

三、单选题

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为

A．2      B．4       C．8         D．16

四、解答题

17. 难度：简单

解方程：

（1）x² -4x-5=0         （2） 3x²-6x+4=0

18. 难度：中等

正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）试作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB₁C₁；点B₁的坐标为        ；

（2）作△ABC关于原点O成中心对称的△A₂B₂C₂；点B₂的坐标为         .

19. 难度：中等

如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．

（1）求证：DA∥BC；

（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．

20. 难度：简单

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

21. 难度：中等

在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.

求∠D的度数.

             

22. 难度：中等

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）	…	30	40	50	…
每天的销售量y（个）		100	80	60	…

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

23. 难度：中等

如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

（问题解决）

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

（类比探究）

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．